equa diff

[invite00c17237]

Bonjour,

Je suis en école d'ingénieurs. Je voudrais résoudre une équa diff du 1er ordre à coef non constants qui est la suivante:

y` = (x+y)²
et y(0)=0

Avant je savais résoudre ces équations . Mais depuis de l'eau à couler sous les ponts, et à part la physique et la méca que je continue à pratiquer, le reste je l'ai vite oublié (malheureusement d'ailleurs).

Des trucs me viennent en tête
variables séparées...

Mais j'ai pas mes cours de prépa avec moi.

Alors si qqn peut m'aider

Je vous remercie d'avance

Cà doit être bidon d'ailleurs
-----

[invite1679091c]

Equa diff non linéaire. Y des hypothèses à faire ... je n'ai plus non plus la méthode en tête ... je regarderai cette aprèm quand j'aurai fini de réviser !

[invite37968ad1]

C'est une équation de Riccati,

je te donne les grandes lignes mais je te laisse faire les calculs: j'ai une trop fâcheuse tendance à commettre des erreurs

on cherche une solution particulière : y1 = i - x (vérifie que ça marche)

ensuite on pose y = i - x + z, et on s'aperçoit que z vérifie une équation de Bernouilli
z' = z² + 2iz (vérifie si ça marche)

Puisque c'est une équation de Bernouilli, on pose u = 1/z, et on s'aperçoit que u vérifie une équation linéaire d'ordre 1 à coef constant -u' = 1 + 2iu (vérifie.....)

on trouve u, puis z puis y

[invite37968ad1]

Après des calculs bien lourds...
la solution bien simple .............................. .... y = tanx - x

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00c17237]

Chapeau,

J'ai effectué les premiers calculs jusqu'à l'équation en u. Je trouve pareil. Mais après j'ai un peu de mal.

u = Cte exp (-2i x) - 1/(2i)

ici faut-il que je mette la condition initiale ??

Sinon peut -etre que je peut aller au bout jusq'en y et mettre la condition initiale après mais en z c'est complexe .. du coup ... Ca se simplifie ???

Autre chose: la calto (ti) donne la solution suivante:

arctan(x+y)=x

C'est pareille ??

encore autre: j' aurais jamais pensé au changement de variable du début avec un petit complexe pour faire le -1 qui va bien

[invite37968ad1]

tu peux effectivement chercher ta constante ici.
z sera complexe (forcément car y = i-x+z et que y est réel)

Je ne savais pas que la TI résolvait aussi les équa diff, brave petite machine!!
oui arctan(x+y) = x donne x+y = tan(x) puis y = tan(x) - x

Mais vu la forme de la solution, la TI a utilisé une autre méthode... je cherche laquelle

[invite37968ad1]

y' = (x+y)²

Astuce astuce
y' + 1 = (x+y)² + 1

on pose z = x+y, et on obtient z' = z² + 1, soit encore z'/(z²+1) = 1 qui s'intègre en Arctan(z) = x + Cste

Soit encore Arctan(x+y) = x + Cste
constante nulle car y(0) = 0

Maintenant, il faudrait rendre cela rigoureux en faisant attention au domaine de validité de l'équation différentielle....

Si ça intéresse quelqu'un?

[invite00c17237]

Encore Chapeau

Si tu as le temps ca me dirait assez de voir comment tu y prends pour être rigoureux jusqu'au bout . Mais c'est juste comme cà ...

Sinon , par curiosité t'es dans quelle école : X ???

[invite00c17237]

Pas mal pour l'astuce ie ce que fait surement la ti

Mais pour la méthode bourrine j'arrive à la même équetion en u mais après je dois mal m'y prendre ...

Voilà où j'en suis dans la résolution ...

[invite37968ad1]

Il te reste à travailler sur (i/2)(e^-2ix +1)

e^-2ix +1 = e^-ix (e^-ix+e^ix) = 2cos(x) e^-ix
donc
(i/2)(e^-2ix +1) = cosx * i * e^-ix
et en en prenant l'inverse
1/[(i/2)(e^-2ix +1) ] = - i * e^ix*(1/cosx)
puis en développant l'exponentielle
1/[(i/2)(e^-2ix +1) ] = -i + sin(x)/cos(x)

et c'est fini

[invite00c17237]

ok merci j'y croyais

C'est dommage si près du bu

Merci beaucoup !!!