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Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre



  1. #1
    le fouineur

    Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre


    ------

    Bonjour à tous,

    Je me questionne depuis longtemps au sujet de la méthode de Gauss que je ne comprends pas:

    Dans l' expression:

    Int de a à b de w(x)*y(x)*dx

    Que représentent les expressions w(x) et y(x)?

    A quoi servent donc les tables donnant Xk et Ak pour
    n=2,n=4,n=6......etc?

    Pouvez-vous me conseiller un site ou ce soit bien expliqué? merci d' avance.

    le fouineur

    -----

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  4. #2
    Jeanpaul

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    La méthode Gauss-Legendre est très utile pour calculer numériquement une intégrale de la fonction F(x). Voir par exemple Wikipédia :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...Gauss-Legendre
    Le plus simple est de se ramener à une intégrale sur [-1,+1] quand on peut. Si ce n'est pas possible, on doit ajouter une pondération et intégrer F(x) w(x) mais c'est un cas spécial.

    On remplace l'intégrale par une somme de termes du genre Ak. F(xk) où les points xk, ainsi que les pondérations Ak sont tirés de tables. Ils sont choisis de manière à donner un résultat exact quand F(x) est un polynôme.
    La méthode de calcul est donnée dans :
    http://iacs.epfl.ch/asn/Support/support/node17.html

  5. #3
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Merci Jeanpaul pour ta réponse rapide,

    Toutefois pourrais-tu me détailler la méthode pour:

    I=Intégrale de -1 à 1 def(x)=(x+1)^3

    Avec un exemple concret je comprendrai mieux.

  6. #4
    Jeanpaul

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Prenons 3 points correspondant à :
    x = -0.77 et un poids de 5/9
    x=0 et un poids de 8/9
    x= +0.77 et un poids de 5/9
    (ce sont les valeurs de Wikipedia)
    Alors l'intégrale vaudra :

    5/9 * f(-0.77) + 8/9 * f(0) + 5/9 * f(0.77)

    C'est tout, je te laisse vérifier.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    zinia

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Citation Envoyé par le fouineur
    Toutefois pourrais-tu me détailler la méthode pour:
    I=Intégrale de -1 à 1 def(x)=(x+1)^3

    Avec un exemple concret je comprendrai mieux.
    Ton exemple n'est pas "parlant", il vaudrait mieux autre chose qu'un polynome. Avec 3 points et un polynome de dégré inférieur à 5, le calcul devient exact.
    Je te propose f(x) =1/(1+x^2) sur le même intervalle.
    Avec un point I=a1f(x1)=2 f(0) = 2
    Avec 2 points
    Avec 3 points :

    On voit bien que le résultat se rapproche de pi/2, valeur exacte..

  9. #6
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    ça marche sans problème!!

    Et si l' intervalle d' intégration est de 2 à 5,ça donne quoi?
    C'est ma dernière question,promis,car je n'arrive pas à
    adapter la formule avec (b-a)/2 et (a+b)/2

    merci d'avance le fouineur

    P.S Je me demande bien comment Gauss a t' il pu mettre
    ces formules au point?

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  11. #7
    zinia

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    De manière générale, il est toujours possible de ramener l'intervalle d'intégration à -1;1 en faisant un changement de variable u= [2x-a-b] / (b-a) où a et b sont les bornes d'intégration. Tu peux toujours repasser en x ensuite en faisant attention que tu auras un facteur (b-a)/2 supplémentaire.
    En pratique, on commence par fixer le nombre de points (par exemple 3) et selon la précision voulue, on découpe l'intervalle d'intégration en k intervalles plus pétits sur lesquels on applique la méthode.
    En effet, multiplier le nombre de points c'est conserver en mémoire pléthore de nombres irrationnels ou les recalculer à chaque fois, ce qui est long et fastidieux.

  12. #8
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Bonjour zinia,

    Pourrais-tu expliciter ta méthode du changement de
    variable pour le cas ou a=2 et b=5 de la fonction:

    f(x)=(x+1)^3

    Je ne demande que l' application numérique our cet
    exemple précis

    d' avance merci, le fouineur

  13. #9
    zinia

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Par exemple avec 3 points, le changement de variable est u=(2x-7)/3 avec tes bornes Cela se retourne en x =(3u+7)/2. En repassant en x, la formule devient
    I= [5/9*f(3,5-1,5*√0,6)+8/9*f(3,5)+5/9*f(3,5+1,5*√0,6)]*(5-2)/2

  14. #10
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Citation Envoyé par le fouineur
    Bonjour zinia,

    Pourrais-tu expliciter ta méthode du changement de
    variable pour le cas ou a=2 et b=5 de la fonction:

    f(x)=(x+1)^3

    Je ne demande que l' application numérique our cet
    exemple précis

    d' avance merci, le fouineur
    ça y est, j'ai trouvé par tatonnements la formule générale pour un intervalle d'intégration de a à b
    C'est:

    I=(b-a)/2*{[w1*f((b-a)/2*x1+((a+b)/2)]
    +[w2*f((b-a)/2*x2+((a+b)/2)]
    +[w3*f((b-a)/2*x3+((a+b)/2]}
    avec w1,w2 et w3 les coefficients de pondération
    et x1,x2 et x3 les valeurs des Xi pour 3 points

    Reste à savoir quand cette méthode peut s'appliquer?

  15. #11
    Jeanpaul

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Cette méthode marche étonnamment bien, à condition bien sûr que a et b soient finis (pas question d'intégrer de - infini à + infini).
    On peut même calculer des intégrales doubles.
    La seule servitude est que l'on doit connaître la forme analytique de la fonction (pour la calculer là où on veut).

  16. #12
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Bonjour à tous,

    Merci à Jeanpaul et zinia pour leurs réponses.

    Je souhaiterai savoir maintenant comment Gauss a-t' il
    fait pour calculer les poids et fonctions de pondération
    de ses polynômes?

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  18. #13
    zinia

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Bonsoir,
    Tu peux les calculer toi même. Le principe est qu'on choisit le points et les poids de telle sorte que l'intégrale entre -1 et +1 soit exacte pour le polynome de degré le plus élevé possible.
    Par exemple avec 3 points et donc 3 poids, tu as 6 valeurs à calculer et il te faut six équations :
    avec k=0;1;...5
    Cela donne le système :





    etc jusqu'à x^5.
    La solution n'est pas très compliquée pour trois points, mais le devient avec plus. On peut toutefois simplifier en utilisant les symétries w1=w3 et x1=-x3 qui se généralisent quel que soit le nombre de points...
    Dernière modification par zinia ; 29/04/2006 à 18h07.

  19. #14
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Bonsoir zinia,

    Merci pour ta réponse rapide,

    J'ai pu calculer les Xi et les Wi pour 3 points à partir des
    6 équations obtenues.La résolution du système a quand
    mème nécessité 50 secondes de calcul avec la TI 89.
    (Le plus long ayant été de saisir les 6 équations)

    le fouineur

  20. #15
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Bonjour à tous,

    J'ai essayé de résoudre en vain (à la main) le système des 6 équations:

    w1+w2+w3=2
    w1*x1+w2*x2+w3*x3=0
    (w1*x1^2)+(w2*x2^2)+(w3*x3^2)= 2/3
    (w1*x1^3)+(w2*x2^3)+(w3*x3^3)= 0
    (w1*x1^4)+(w2*x2^4)+(w3*x3^4)= 2/5
    (w1*x1^5)+(w2*x2^5)+(w3*x3^5)= 0

    Mais je ne parviens pas à trouver une méthode d' attaque du problème:ce système est en effet linéaire
    en w1,w2,w3 mais non linéaire en x1,x2,x3.Une méthode
    est évoquée dans: "analyse numérique" de Francis Scheid mis elle n' est pas explicitée en détail.Quelqu'un
    aurait-t'il une idée pour résoudre ce système?

    Toutes les réponses seront bienvenues

    le fouineur

  21. #16
    zinia

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    En fait, on ne cherche pas à résoudre en un coup les 6 équations.
    On démontre que les Xi sont solutions d'un polynome de Legendre http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4mes_de_Legendre
    et ensuite il reste à calculer les Wi avec une partie des équations (normalement les non nulles).
    Cependant avec 3 points on peut facilement résoudre le système.
    Il faut utiliser les équations nulles pour eliminer les Wi

  22. #17
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Bonjour zinia,

    Merci pour ta réponse.J' ai en effet pu constater que
    x1,x2 et x3 sont les solutions de P3(x).
    En ce qui est du calcul des Wi et des Xi,ma modeste
    calculatrice TI 89 a pu s'en démerder en 50 secondes
    en me donnant leur valeurs exactes avec la fonction
    "zeros()".Comment la calculatrice a-t' elle pu organiser
    le calcul? Le livre que j'ai cité dans le message #15
    propose une méthode pour résoudre un système
    similaire de 6 équations avec 6 inconnues:

    -introduire le polynôme connu:

    P(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)
    =x^4+C1*x^3+C2*x^2+C3*x+C4

    -obtenir 2 équations linéaires pour le cas particulier ou
    x3=1 et x=-1

    -multiplier les 5 premières équations par C4,C3,C2,C1 et 1

    -les additionner membre à membre

    -déterminer les valeurs de C1,C2,C3,C4 et en déduire
    l' expression du polynôme P(x)

    -résoudre le polynôme,en déduire les valeurs des Xi

    -reporter les valeurs des Xi dans les 6 équations originales et en déduire les valeurs des Wi

    Ne pourrait-on pas utiliser un schéma similaire dans notre cas?

  23. #18
    zinia

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Pourquoi te casser la tête ?
    Le passage par les polynomes de Legendre permet de se ramener à une équation dont le degré est égal au nombre de points et les xi connus, les wi se déduisent facilement des premières équations
    Si tu tiens à résoudre à la main le système des six équations, il faut s'y prendre dans le bon ordre.
    Pour cela ne pas chercher à éliminer les xi mais d'abord les wi .
    Comme je te l'avais conseillé, part des équations avec des x de degré impair (celles qui donnent 0) et à partir des deux premières élimine w1 et w3.
    Tu arrives à qualque chose du genre
    w2 x2[(x1)²-(x2)²] [(x3)²-(x2)²]=0
    comme w2 n'est pas nul et que x1 et x3 ne sont pas égaux à x2 ou à -x2, la seule solution est que x2 soit nul.
    Alors tout devient beaucoup plus simple...

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  25. #19
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Bonjour zinia,

    J'ai vainement essayé d' éliminer w1 et w3 des équations
    de degré impair soit:

    w1*x1+w2*x2+w3*x3=0
    w1*x1^3+w2*x2^3+w3*x3^3=0

    Si on additionne ces deux équations on peut mettre
    w1,w2 et w3 en facteur

    w1*(x1+x1^3)+w2*(x2+x2^3)+w3*( x3+x3^3)=0

    Comment fait-tu donc pour éliminer w1 et w3 de ces deux équations?

    le fouineur

  26. #20
    zinia

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Bonjour,
    détaillons :
    a ----------> w1*x1+w2*x2+w3*x3=0
    b ----------> w1*x1^3+w2*x2^3+w3*x3^3=0
    c ----------> w1*x1^5+w2*x2^5+w3*x3^5=0
    d=b-a*x1²--> w2*x2*[(x2)²-(x1)²]+w3*x3*[(x3)²-(x1)²]=0
    e=c-b*x1²--> w2*(x2^3)*[(x2)²-(x1)²]+w3*(x3^3)*[(x3)²-(x1)²]=0
    f=e-d*x3²--> w2*x2*[(x2)²-(x1)²]*[(x2)²-(x3)²]=0

    Tu peux d'ailleurs obtenir toute la famille en éliminant w1 et w2 ou w2 et w3
    w3*x3*[(x3)²-(x1)²]*[(x3)²-(x2)²]=0
    w1*x1*[(x1)²-(x2)²]*[(x1)²-(x3)²]=0

  27. #21
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Bonsoir zinia,

    Je n'ai qu' un niveau de BTS Electrotechnique en mathématiques et je n' ai étudié que des mathématiques
    appliquées au traitement du signal:équations différentielles linéaires,séries de Fourier,transformation de
    Laplace.La seule démonstration que j' ai vue et comprise
    est celle de la formule de Taylor-Young.C' est pourquoi
    des calculs pour l' élimination des variables qui te paraissent élémentaires à ton niveau peuvent me demander pour les comprendre quelques heures de réflexion avec mise à plat avec papier et crayon.Si
    j' insiste ainsi sur ce sujet, c'est qu' il me parait digne
    d' intéret car jusqu' à maintenant je n' avais aucune idée
    quand à la mise en oeuvre de la méthode de Gauss....

    Pour revenir à nos moutons j' ai refais les calculs et j' arrive bien à:

    w2*x2*[(x2^2)-(x1^2)]*[(x2^2)-(x3^2)]=0

    et moyennant tes conditions on arrive bien à la conclusion que x2 est nul.Ouf,nous voila débarrassés
    d' une inconnue.Du coup les équations initiales se
    simplifient et deviennent:

    w1+w2+w3=2
    w1*x1+w3*x3=0
    w1*x1^2+w3*x3^2=2/3
    w1*x1^3+w3*x3^3=0
    w1*x1^4+w3*x3^4=2/5
    w1*x1^5+w3*x3^5=0

    w2 n'apparaissant plus que dans une équation,on est donc ramené à la résolution d' un système de 4 équations à 4 inconnues et connaisant la valeur de w1
    et de w3,il suffira de reporter leurs valeurs dans la preière équation.Que faut-t'il faire maintenant?Le travail
    accompli pour déterminer x2 ne peut-il pas servir?
    J' avoue que je cale à nouveau car il n'y a plus d' inconnue de valeur nulle comme x2 précédemment
    auquelles on pourrait faire suivre le mème traitement.

  28. #22
    zinia

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Essaie equation4 -equation2 * (x3)²
    tu devrais arriver à x1²=x3² comme ces deux points ne sont identiques (on veut trois points) reste x1+x3 =0
    Il te reste alors à calculer x1 à partir des équations 3 et 5 en les divisant l'une par l'autre.
    Une fois connus les points, les coeff se calculent sans problème.

  29. #23
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Merci zinia,

    ça marche pour x1^2=x3^2.Ensuite ça coince,car on ne
    peut pas diviser l'équation 5 par l'équation 3.On a seulement le droit de diviser par une mème quantité
    chaque membre d' une équation.

  30. #24
    zinia

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Citation Envoyé par le fouineur
    Merci zinia,

    ça marche pour x1^2=x3^2.Ensuite ça coince,car on ne
    peut pas diviser l'équation 5 par l'équation 3.On a seulement le droit de diviser par une mème quantité
    chaque membre d' une équation.
    Si x1²=x3², ces équations deviennent
    (w1+w3)*(x1)²=2/3
    (w1+w3)*(x1^4)=2/5
    tu peux multiplier la première par (x1)² pour obtenir, en notant qu'elles ont un membre identique :
    2/3 (x1)²=2/5
    Mais il nétait pas interdit de diviser membre à membre puisqu'aucun n'est nul

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  32. #25
    le fouineur

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Merci zinia pour ta réponse,le problème est donc entièrement résolu.Vu la manière dont les calculs
    croissent avec le nombre d' inconnues,je me demande
    comment a fait Legendre pour calculer les racines exactes de ses polynômes sachant qu'il n' y avait pas de calculatrices à cette époque.

  33. #26
    zinia

    Re : Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

    Citation Envoyé par le fouineur
    je me demande comment a fait Legendre pour calculer les racines exactes de ses polynômes sachant qu'il n' y avait pas de calculatrices à cette époque.
    Oui mais ils avaient des cerveaux
    En fait, ils disposaient de méthodes de calcul puissantes comme celle de Gauss ou de Newton et aussi d'un peu de patience.
    Remarque que le polynome P5 de legendre se ramène à une équation bicarrée soluble par un collègien. Et pour l'intégration, on n'a pas intérêt à prendre trop de points mais plutot à découper l'intervalle d'intégration.
    En outre, si tu veux les valeurs irrationnelles exactes, la calculatrice ne sert plus à grand chose

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