Bonjour à tous,
Je me questionne depuis longtemps au sujet de la méthode de Gauss que je ne comprends pas:
Dans l' expression:
Int de a à b de w(x)*y(x)*dx
Que représentent les expressions w(x) et y(x)?
A quoi servent donc les tables donnant Xk et Ak pour
n=2,n=4,n=6......etc?
Pouvez-vous me conseiller un site ou ce soit bien expliqué? merci d' avance.
le fouineur
La méthode Gauss-Legendre est très utile pour calculer numériquement une intégrale de la fonction F(x). Voir par exemple Wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...Gauss-Legendre
Le plus simple est de se ramener à une intégrale sur [-1,+1] quand on peut. Si ce n'est pas possible, on doit ajouter une pondération et intégrer F(x) w(x) mais c'est un cas spécial.
On remplace l'intégrale par une somme de termes du genre Ak. F(xk) où les points xk, ainsi que les pondérations Ak sont tirés de tables. Ils sont choisis de manière à donner un résultat exact quand F(x) est un polynôme.
La méthode de calcul est donnée dans :
http://iacs.epfl.ch/asn/Support/support/node17.html
Merci Jeanpaul pour ta réponse rapide,
Toutefois pourrais-tu me détailler la méthode pour:
I=Intégrale de -1 à 1 def(x)=(x+1)^3
Avec un exemple concret je comprendrai mieux.
Prenons 3 points correspondant à :
x = -0.77 et un poids de 5/9
x=0 et un poids de 8/9
x= +0.77 et un poids de 5/9
(ce sont les valeurs de Wikipedia)
Alors l'intégrale vaudra :
5/9 * f(-0.77) + 8/9 * f(0) + 5/9 * f(0.77)
C'est tout, je te laisse vérifier.
Ton exemple n'est pas "parlant", il vaudrait mieux autre chose qu'un polynome. Avec 3 points et un polynome de dégré inférieur à 5, le calcul devient exact.Envoyé par le fouineur
Je te propose f(x) =1/(1+x^2) sur le même intervalle.
Avec un point I=a1f(x1)=2 f(0) = 2
Avec 2 points
Avec 3 points :
On voit bien que le résultat se rapproche de pi/2, valeur exacte..
ça marche sans problème!!
Et si l' intervalle d' intégration est de 2 à 5,ça donne quoi?
C'est ma dernière question,promis,car je n'arrive pas à
adapter la formule avec (b-a)/2 et (a+b)/2
merci d'avance le fouineur
P.S Je me demande bien comment Gauss a t' il pu mettre
ces formules au point?
De manière générale, il est toujours possible de ramener l'intervalle d'intégration à -1;1 en faisant un changement de variable u= [2x-a-b] / (b-a) où a et b sont les bornes d'intégration. Tu peux toujours repasser en x ensuite en faisant attention que tu auras un facteur (b-a)/2 supplémentaire.
En pratique, on commence par fixer le nombre de points (par exemple 3) et selon la précision voulue, on découpe l'intervalle d'intégration en k intervalles plus pétits sur lesquels on applique la méthode.
En effet, multiplier le nombre de points c'est conserver en mémoire pléthore de nombres irrationnels ou les recalculer à chaque fois, ce qui est long et fastidieux.
Bonjour zinia,
Pourrais-tu expliciter ta méthode du changement de
variable pour le cas ou a=2 et b=5 de la fonction:
f(x)=(x+1)^3
Je ne demande que l' application numérique our cet
exemple précis
d' avance merci, le fouineur
Par exemple avec 3 points, le changement de variable est u=(2x-7)/3 avec tes bornes Cela se retourne en x =(3u+7)/2. En repassant en x, la formule devient
I= [5/9*f(3,5-1,5*√0,6)+8/9*f(3,5)+5/9*f(3,5+1,5*√0,6)]*(5-2)/2
ça y est, j'ai trouvé par tatonnements la formule générale pour un intervalle d'intégration de a à b
C'est:
I=(b-a)/2*{[w1*f((b-a)/2*x1+((a+b)/2)]
+[w2*f((b-a)/2*x2+((a+b)/2)]
+[w3*f((b-a)/2*x3+((a+b)/2]}
avec w1,w2 et w3 les coefficients de pondération
et x1,x2 et x3 les valeurs des Xi pour 3 points
Reste à savoir quand cette méthode peut s'appliquer?
Cette méthode marche étonnamment bien, à condition bien sûr que a et b soient finis (pas question d'intégrer de - infini à + infini).
On peut même calculer des intégrales doubles.
La seule servitude est que l'on doit connaître la forme analytique de la fonction (pour la calculer là où on veut).
Bonjour à tous,
Merci à Jeanpaul et zinia pour leurs réponses.
Je souhaiterai savoir maintenant comment Gauss a-t' il
fait pour calculer les poids et fonctions de pondération
de ses polynômes?
Bonsoir,
Tu peux les calculer toi même. Le principe est qu'on choisit le points et les poids de telle sorte que l'intégrale entre -1 et +1 soit exacte pour le polynome de degré le plus élevé possible.
Par exemple avec 3 points et donc 3 poids, tu as 6 valeurs à calculer et il te faut six équations :
avec k=0;1;...5
Cela donne le système :
etc jusqu'à x^5.
La solution n'est pas très compliquée pour trois points, mais le devient avec plus. On peut toutefois simplifier en utilisant les symétries w1=w3 et x1=-x3 qui se généralisent quel que soit le nombre de points...
Bonsoir zinia,
Merci pour ta réponse rapide,
J'ai pu calculer les Xi et les Wi pour 3 points à partir des
6 équations obtenues.La résolution du système a quand
mème nécessité 50 secondes de calcul avec la TI 89.
(Le plus long ayant été de saisir les 6 équations)
le fouineur
Bonjour à tous,
J'ai essayé de résoudre en vain (à la main) le système des 6 équations:
w1+w2+w3=2
w1*x1+w2*x2+w3*x3=0
(w1*x1^2)+(w2*x2^2)+(w3*x3^2)= 2/3
(w1*x1^3)+(w2*x2^3)+(w3*x3^3)= 0
(w1*x1^4)+(w2*x2^4)+(w3*x3^4)= 2/5
(w1*x1^5)+(w2*x2^5)+(w3*x3^5)= 0
Mais je ne parviens pas à trouver une méthode d' attaque du problème:ce système est en effet linéaire
en w1,w2,w3 mais non linéaire en x1,x2,x3.Une méthode
est évoquée dans: "analyse numérique" de Francis Scheid mis elle n' est pas explicitée en détail.Quelqu'un
aurait-t'il une idée pour résoudre ce système?
Toutes les réponses seront bienvenues
le fouineur
En fait, on ne cherche pas à résoudre en un coup les 6 équations.
On démontre que les Xi sont solutions d'un polynome de Legendre http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4mes_de_Legendre
et ensuite il reste à calculer les Wi avec une partie des équations (normalement les non nulles).
Cependant avec 3 points on peut facilement résoudre le système.
Il faut utiliser les équations nulles pour eliminer les Wi
Bonjour zinia,
Merci pour ta réponse.J' ai en effet pu constater que
x1,x2 et x3 sont les solutions de P3(x).
En ce qui est du calcul des Wi et des Xi,ma modeste
calculatrice TI 89 a pu s'en démerder en 50 secondes
en me donnant leur valeurs exactes avec la fonction
"zeros()".Comment la calculatrice a-t' elle pu organiser
le calcul? Le livre que j'ai cité dans le message #15
propose une méthode pour résoudre un système
similaire de 6 équations avec 6 inconnues:
-introduire le polynôme connu:
P(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)
=x^4+C1*x^3+C2*x^2+C3*x+C4
-obtenir 2 équations linéaires pour le cas particulier ou
x3=1 et x=-1
-multiplier les 5 premières équations par C4,C3,C2,C1 et 1
-les additionner membre à membre
-déterminer les valeurs de C1,C2,C3,C4 et en déduire
l' expression du polynôme P(x)
-résoudre le polynôme,en déduire les valeurs des Xi
-reporter les valeurs des Xi dans les 6 équations originales et en déduire les valeurs des Wi
Ne pourrait-on pas utiliser un schéma similaire dans notre cas?
Pourquoi te casser la tête ?
Le passage par les polynomes de Legendre permet de se ramener à une équation dont le degré est égal au nombre de points et les xi connus, les wi se déduisent facilement des premières équations
Si tu tiens à résoudre à la main le système des six équations, il faut s'y prendre dans le bon ordre.
Pour cela ne pas chercher à éliminer les xi mais d'abord les wi .
Comme je te l'avais conseillé, part des équations avec des x de degré impair (celles qui donnent 0) et à partir des deux premières élimine w1 et w3.
Tu arrives à qualque chose du genre
w2 x2[(x1)²-(x2)²] [(x3)²-(x2)²]=0
comme w2 n'est pas nul et que x1 et x3 ne sont pas égaux à x2 ou à -x2, la seule solution est que x2 soit nul.
Alors tout devient beaucoup plus simple...
Bonjour zinia,
J'ai vainement essayé d' éliminer w1 et w3 des équations
de degré impair soit:
w1*x1+w2*x2+w3*x3=0
w1*x1^3+w2*x2^3+w3*x3^3=0
Si on additionne ces deux équations on peut mettre
w1,w2 et w3 en facteur
w1*(x1+x1^3)+w2*(x2+x2^3)+w3*( x3+x3^3)=0
Comment fait-tu donc pour éliminer w1 et w3 de ces deux équations?
le fouineur
Bonjour,
détaillons :
a ----------> w1*x1+w2*x2+w3*x3=0
b ----------> w1*x1^3+w2*x2^3+w3*x3^3=0
c ----------> w1*x1^5+w2*x2^5+w3*x3^5=0
d=b-a*x1²--> w2*x2*[(x2)²-(x1)²]+w3*x3*[(x3)²-(x1)²]=0
e=c-b*x1²--> w2*(x2^3)*[(x2)²-(x1)²]+w3*(x3^3)*[(x3)²-(x1)²]=0
f=e-d*x3²--> w2*x2*[(x2)²-(x1)²]*[(x2)²-(x3)²]=0
Tu peux d'ailleurs obtenir toute la famille en éliminant w1 et w2 ou w2 et w3
w3*x3*[(x3)²-(x1)²]*[(x3)²-(x2)²]=0
w1*x1*[(x1)²-(x2)²]*[(x1)²-(x3)²]=0
Bonsoir zinia,
Je n'ai qu' un niveau de BTS Electrotechnique en mathématiques et je n' ai étudié que des mathématiques
appliquées au traitement du signal:équations différentielles linéaires,séries de Fourier,transformation de
Laplace.La seule démonstration que j' ai vue et comprise
est celle de la formule de Taylor-Young.C' est pourquoi
des calculs pour l' élimination des variables qui te paraissent élémentaires à ton niveau peuvent me demander pour les comprendre quelques heures de réflexion avec mise à plat avec papier et crayon.Si
j' insiste ainsi sur ce sujet, c'est qu' il me parait digne
d' intéret car jusqu' à maintenant je n' avais aucune idée
quand à la mise en oeuvre de la méthode de Gauss....
Pour revenir à nos moutons j' ai refais les calculs et j' arrive bien à:
w2*x2*[(x2^2)-(x1^2)]*[(x2^2)-(x3^2)]=0
et moyennant tes conditions on arrive bien à la conclusion que x2 est nul.Ouf,nous voila débarrassés
d' une inconnue.Du coup les équations initiales se
simplifient et deviennent:
w1+w2+w3=2
w1*x1+w3*x3=0
w1*x1^2+w3*x3^2=2/3
w1*x1^3+w3*x3^3=0
w1*x1^4+w3*x3^4=2/5
w1*x1^5+w3*x3^5=0
w2 n'apparaissant plus que dans une équation,on est donc ramené à la résolution d' un système de 4 équations à 4 inconnues et connaisant la valeur de w1
et de w3,il suffira de reporter leurs valeurs dans la preière équation.Que faut-t'il faire maintenant?Le travail
accompli pour déterminer x2 ne peut-il pas servir?
J' avoue que je cale à nouveau car il n'y a plus d' inconnue de valeur nulle comme x2 précédemment
auquelles on pourrait faire suivre le mème traitement.
Essaie equation4 -equation2 * (x3)²
tu devrais arriver à x1²=x3² comme ces deux points ne sont identiques (on veut trois points) reste x1+x3 =0
Il te reste alors à calculer x1 à partir des équations 3 et 5 en les divisant l'une par l'autre.
Une fois connus les points, les coeff se calculent sans problème.
Merci zinia,
ça marche pour x1^2=x3^2.Ensuite ça coince,car on ne
peut pas diviser l'équation 5 par l'équation 3.On a seulement le droit de diviser par une mème quantité
chaque membre d' une équation.
Si x1²=x3², ces équations deviennent
(w1+w3)*(x1)²=2/3
(w1+w3)*(x1^4)=2/5
tu peux multiplier la première par (x1)² pour obtenir, en notant qu'elles ont un membre identique :
2/3 (x1)²=2/5
Mais il nétait pas interdit de diviser membre à membre puisqu'aucun n'est nul
Merci zinia pour ta réponse,le problème est donc entièrement résolu.Vu la manière dont les calculs
croissent avec le nombre d' inconnues,je me demande
comment a fait Legendre pour calculer les racines exactes de ses polynômes sachant qu'il n' y avait pas de calculatrices à cette époque.
Oui mais ils avaient des cerveaux
En fait, ils disposaient de méthodes de calcul puissantes comme celle de Gauss ou de Newton et aussi d'un peu de patience.
Remarque que le polynome P5 de legendre se ramène à une équation bicarrée soluble par un collègien. Et pour l'intégration, on n'a pas intérêt à prendre trop de points mais plutot à découper l'intervalle d'intégration.
En outre, si tu veux les valeurs irrationnelles exactes, la calculatrice ne sert plus à grand chose
