Quadrature Gauss Legendre dans une équation de transport

[invite9096e875]

Bonjour !

Je suis en Master Géosciences et dans le cadre d'un exercice de modélisation, je dois utiliser l'équation en pièce-jointe (cf: http://pubs.usgs.gov/twri/twri3-b7/pdf/twri_3-B7_b.pdf page 21). Celle-ci contient une intégrale et il est précisé dans le texte qui l'accompagne : "L'intégrale de cette équation ne peut pas être simplifiée et doit être évaluée numériquement." Puis les auteurs précisent que pour leur programme informatique, ils ont utilisé une technique d'intégration numérique Gauss-Legendre.

J'ai donc fait ma petite recherche sur cette technique sur Wikipedia ( http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...ature_de_Gauss ) et sur Wolfram MathWorld ( http://mathworld.wolfram.com/Legendr...uadrature.html ) et je pense avoir réussi à saisir le concept. J'ai timidement troqué mon intervalle [0, t] pour [-1,1] grâce aux informations de wiki et... Je suis bloquée !
Je n'y connais pas grand chose en polynômes (je n'en ai pas vu depuis la terminale je crois...) mais j'ai cru comprendre que cette méthode s'appliquait à eux et je n'ai pas l'impression que mon intégrale ressemble à un polynôme. Alors comment savoir quel n choisir et comment résoudre ce sac de noeuds ?

Merci mille fois à quiconque voudra bien m'aider...
Aurélie

Remarque : dans l'équation, C0, Dx, Dy, V, lambda, Y1, Y2 ainsi que x et y (que je vais fixer) peuvent être considérés comme des constantes.
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[invitea29d1598]

bonjour

j'ai cru comprendre que cette méthode s'appliquait à eux et je n'ai pas l'impression que mon intégrale ressemble à un polynôme.

la méthode ne marche pas que pour des polynomes, simplement elle donne le résultat exact (sans erreur d'approximation) uniquement pour un polynome si tu t'arrêtes à un ordre fini (c'est-à-dire si tu sommes un nombre fini de termes).

si ta fonction est pas discontinue, le résultat numérique convergera rapidement vers le résultat exact en augmentant le nombre de polynomes pris en compte.

Alors comment savoir quel n choisir et comment résoudre ce sac de noeuds ?

pour voir le nombre de polynomes necessaire, y'a une méthode simple : tu regardes à partir de quel n ton résultat ne change plus. Cela te signalera que ça a convergé (et si tu as de la chance vers le bon résultat )

tu peux trouver des programmes tout faits pour ça ici (par exemple) :

http://www.numerical-recipes.com/nronline_switcher.html

[invite9096e875]

Tout d'abord, merci beaucoup pour ta réponse qui m'a vraiment beaucoup aidée !
J'ai donc essayé de calculer mon équation pour des n allant de 1 à 5 (voir résultat en pièce jointe). Et je ne suis pas très convaincue par la convergence de tout ceci... J'aurais donc souhaité essayer pour des n plus importants mais je n'ai pas réussi à trouver sur internet un tableau présentant les xi et wi pour i > 5. Saurais-tu m'en indiquer un ? Ou dois-je me limiter à un n = 5 ?
Merci encore pour ton aide.
Aurélie.

[invitea29d1598]

J'ai donc essayé de calculer mon équation pour des n allant de 1 à 5 (voir résultat en pièce jointe). Et je ne suis pas très convaincue par la convergence de tout ceci...

si ce que tu veux dire c'est que tu espérais faire ton calcul d'intégrale avec 5 points, c'est un peu normal que ça converge pas vue ta fonction...

J'aurais donc souhaité essayer pour des n plus importants mais je n'ai pas réussi à trouver sur internet un tableau présentant les xi et wi pour i > 5. Saurais-tu m'en indiquer un ? Ou dois-je me limiter à un n = 5 ?
Merci encore pour ton aide.
Aurélie.

dans le lien que je t'ai indiqué (numerical recipies) tu trouveras des codes pour faire ça avec un nombre quelconque de points... je ne t'ai pas indiqué où c'est exactement car ça dépend du langage de programmation que tu veux utiliser...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1ae5d757]

yep sorellina, envoie un message si tu n'as tjrs pas trouvé de solution, je peux te donner une quadrature allant jusqu'à 16 (ou plus si tu as besoin) points de gauss legendre et si tu veux je peux aussi de réecrire ton integrale pour etre sur que tu fais bien ce qu'il faut !
j'utilise souvent les quadrature de tout type, legendre , laguerre lobatto etc... tu peux aussi résoudre cette équation par la méthode de Monté-carlo voila voilou