Rebonjour...
Je repost ici puisque la question n'a plus grand chose à voir pour finir avec le topic précédent...
Je cherche une approximation deau voisinage de + l'inifini, une fonction avec laquelle je pourrai comparer cette somme...
Est-ce possible en utilisant des développement limités ou autres méthodes complexes que je ne connais pas ? Je vous remercie de votre aide et désolé pour ce message qui est presque un doublon, mais j'ai grand besoin de cette solution....
++
GalaxieA440
Vu que tes termes sont positifs, il me semble qu'en bidouillant et éventuellement sous des conditions restrictives, tu peux sommer des équivalents.Envoyé par GalaxieA440
Rebonjour...
Je repost ici puisque la question n'a plus grand chose à voir pour finir avec le topic précédent...
Je cherche une approximation de
Est-ce possible en utilisant des développement limités ou autres méthodes complexes que je ne connais pas ? Je vous remercie de votre aide et désolé pour ce message qui est presque un doublon, mais j'ai grand besoin de cette solution....
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GalaxieA440
Mais lorsque l'indice sera petit (1..2..), l'équivalence ne sera pas bonne et les termes non négligeables par rapport à la limite lorsque n tend vers l'infini, non ?
Ah, et euh...si on passait ça à l'intégrale, puis IPP ?
(je maîtrise pas super bien ça...mais ça pourrait aider ?)
Merci pour vos réponses... Je fais des recherches et j'essaie plein de choses, mais c'est vraiment au dessus de mon niveau. Donc si vous avez des idées, suggestions, je prend... Si quelqu'un se penche dessus d'un peu plus près, je lui en serait très reconnaissant...
Merci pour tout...
GalaxieA440
L'idée de MiMoiMolette semble bonne :
Tu dis que :
somme ( arcsin(1/(1+i)^1/2),i=1..n) = intégrale ( arcsin(1/(1+n)^1/2)*indicatrice([1,n])dn) où dn est la mesure de comptage.
tu fais une ipp en dérivant l'arcsin :
sa te donne :
arcsin(1/(1+n)^1/2)-arcsin(1/2^(1/2))+1/2*intégrale(n^(1/2)/(n+1)*indicatrice([1,n])dn)
puis finalement en changeant de variable p^2=n:
arcsin(1/(1+p^2)^1/2)-arcsin(1/2^(1/2))+p^2_arctan(p^2)-1+PI/4
donc ton équivalent c'est n^4...
J'emmet quand même des doutes sur l'utilisation de la méthode car j'ai vu ça récemment et je ne suis pas du tout sûr que l'on est le droit d'utiliser les méthodes d'intégration classique sur des mesures de comptage (peut-être y'a t-il certaine conditions à vérifier...) Si quelqu'un de plus expérimenté pouvait confirmer infirmer ou corriger si erreur il y'a sa serait sympa!
Salut !
le théorème de somation des relation de comparaison permet d'obtenir directement que ta suite est éval a 2sqrt(n)+K+O(1/sqrt(n))
ou K est une certain constante.
par contre je doute qu'on puisse calculer K explicitement, mais on peut probablement calculer les termes suivant du dévelopement : genre de remplacer le O(1/sqrt(n)), par a/sqrt(n)+b/n+c/n^(3/2) +... en calculant explicitement a,b c etc...
Bizzare parce que n^4 croit énormément plus rapidement que la somme
donc il n'y a pas équivalence en +l'infini. Ce que je veux (je me suis peut être mal expliqué...), c'est une fonction qui se comporte presque pareil que cette somme.
Un peu de bidouillage avec excel me donne
Cela dit c'est du bricolage total, mais ça donne une idée de ce qui je souhaiterai obtenir avec rigueur...
Merci de l'aide..
++
Merci Ksilver !
Que penses tu de l'expression précédent que je donne ?
Pour le précédent post je suis sûr que c'est bourré d'erreurs de calculs mais aussi de raisonnement. Je pense qu'il faut faire une comparaison série intégrale.
En effet tu as un théorème qui dit :
Soit f une fonction continue de [1,+inf[ à valeurs dans R+ décroissante alors :
Si on note Sn=somme (f(i),i=1..n) et In=intégrale(f(x)dx,x=1..n) on a
(Sn-In) convergente.
Ici si tu prends f: x->arcsin(1/(1+x)^(1/2)) elle est décroissante et continue donc :
(Sn- In) converge vers L
On peut expliciter In en faisant une ipp puis un petit changement de variable on trouve :
In=n*arcsin(1/(n+1)^(1/2))-arcsin(1/2^(1/2))+n^(1/2)-1-arctan(n^(1/2))+PI/4
Yn=Sn-In <=> In/Sn=1-Yn/Sn (Sn est non nulle pour tout n)
et donc Comme Yn converge vers L et que Sn tends vers l'infini on a In/Sn---->1 en l'infini donc Sn et In sont équivalents !
PS : si tu veux la démo du théorème n'hésite pas !
Je te remercie énormément haruspice. Je viens de faire un essais avec excel sur 120 000 itérations, et la différence suite fontion diffère de seulement 0.41 et des brouettes (valeur qui décroit lentement).
Cependant j'ai quelques petites question :
quand tu dis Sn-Ln converge vers L, L= constante ??
D'autres part, je retape ta fonction ln en latex pour que je sois sur qu'il n'y ait aucune erreur :
Est-ce que c'est bien la bonne ou est-ce que j'ai mal lu ?
Merci de l'aide, la démo peut éventuellement m'intéresser, mais je te le dirai plus tard, quand j'en serai sur...
Pour la fonction, c'est bien la bonne!
Et oui, L est une constante.
Pour la démo n'hésite pas.
Le truc c'est que je ne sais pas encore si je vais m'en sortir avec cette fonction, donc je ne voudrais pas t'imposer une démo a rédiger sans en être sur, mais oui, elle m'intéresse...
Merci pour ton aide ...
Cordialement
GalaxieA440
Soit
On pose :
On a :
Car f est décroissante et donc :
D'où :
Soit encore :
Posons maintenant :
REMARQUE : cette suite est bornée
On en déduit que cette suite est décroissante et positive donc converge.
[TEX]S_{n}\ge I_{n+1} \ge I_{n} \ge 0[\TEX]
donc :
On en déduit que
et voilà la démo !
(pffiou ! mon premier texte en LateX...
Je te fais confiance de toute façon
En tout cas merci beaucoup, je verrai si ça marche et si j'arrive à résoudre mon problème...
++ A bientot
Encore une petite question, comment obtient tu (rapidement...) la fonction précédente ???
Tu parles de la suite
Si c'est bien ça , il te suffit d'intégrer
Tu intégre 1 et tu dérive
ensuite tu te retrouves avec une intégrale du genre :
tu pose alors
Fais juste gaffe aux coefficients devant l'intégrale, là j'ai juste détaillé les astuces de calcul, il me semble qu'un facteur 1/2 doit trainer par là et s'en aller avec le changement de variable
oui je suis d'accord avec ton expression haruspice : on trouve 2*sqrt(n)+qqch qui converge (par différente méthodes)
c'est bien coherent avec ton 2*sqrt(n+2)-2 + qqch qui convegre, vu que sqrt(n+2)-sqrt(n) tend vers 0.
Ok je vous remercie.
Dans tous les cas j'arrive à confirmer ce que je veux, mais je ne parviens pas à quelque chose de clair et de précis...
Il s'agit d'étudier les variations de :
Je sais sais que cette suite est décroissante, je sais que an-a(n+1) est positif (bidouillage), mais je n'arrive pas à trouver quelque chose de puissant pour montrer cela...
Si vous avez une idée, une piste, une méthode pour m'aiguiller, je prend...
Je te propose une solution qui utilise des developpements limités et des relations d'equivalences.
Voila l'idée est de comparer an-1/an a 1, sachant que les an sont positifs ca permettra de prouver la decroissance de ta suite au voisinage de l'infini.
Donc an-1/an= sqrt(n)/sqrt(n+1)*(1+arcsin(1/sqrt(n+1))
or pour n tendant vers l'infini arcsin(1/sqrt(n+1))=1/sqrt(n+1)+o(1/n)
(o sgnifie negilgeable devant par exemple au voisinage de l'infini n est negilgeable devant n² car n/n² tend vers 0) donc dans notre cas ca veut dire que le reste du developpement limité est negligeable devant 1/n.
Ensuite en faisant un autre DL, sqrt(n)/sqrt(n+1)=1-2/n+o(1/n)
Il vient donc que an-1/an=1+1/sqrt(n+1)+o(1/sqrt(n))
Donc finalement an-1/an-1~1/sqrt(n+1) ~ signifie equivalent ca veut dire se comporte de la meme facon, ici au voisinage de l'infini.
donc an-1/an-1>0 au voisinage de l'infini, ce qui te permet de conclure sur la monotonie de la suite.
Intéressant
Je soumet ça à mon prof de maths dans la semaine...
Merci pour ton aide
Cordialement
GalaxieA440
Je revendique le copyright sur cette solution (voir dans l'autre post de Galaxie A440)
Dans tous les cas si je conclus de cette façon, j'le mettrai le copyright ça c'est sur
Merci à tous
Ohh!!! pr une methode aussi repandue un copyright!!! j'ai du l'utiliser au moins 100 fois durant ma prepa, en plus j'etais meme pas aucourant qu'il y avait un dble post...mais bon ca m'a bien amusé
