Approximation en + l'infini

**GalaxieA440** · 01/12/2007, 17h36

Rebonjour...

Je repost ici puisque la question n'a plus grand chose à voir pour finir avec le topic précédent...

Je cherche une approximation de $\text{[math]}$ au voisinage de + l'inifini, une fonction avec laquelle je pourrai comparer cette somme...

Est-ce possible en utilisant des développement limités ou autres méthodes complexes que je ne connais pas ? Je vous remercie de votre aide et désolé pour ce message qui est presque un doublon, mais j'ai grand besoin de cette solution....

++

GalaxieA440

**indian58** · 01/12/2007, 18h04

Envoyé par GalaxieA440

Rebonjour...

Je repost ici puisque la question n'a plus grand chose à voir pour finir avec le topic précédent...

Je cherche une approximation de $\text{[math]}$ au voisinage de + l'inifini, une fonction avec laquelle je pourrai comparer cette somme...

Est-ce possible en utilisant des développement limités ou autres méthodes complexes que je ne connais pas ? Je vous remercie de votre aide et désolé pour ce message qui est presque un doublon, mais j'ai grand besoin de cette solution....

++

GalaxieA440

Vu que tes termes sont positifs, il me semble qu'en bidouillant et éventuellement sous des conditions restrictives, tu peux sommer des équivalents.

**invite1237a629** · 01/12/2007, 18h11

Mais lorsque l'indice sera petit (1..2..), l'équivalence ne sera pas bonne et les termes non négligeables par rapport à la limite lorsque n tend vers l'infini, non ?

Ah, et euh...si on passait ça à l'intégrale, puis IPP ?
(je maîtrise pas super bien ça...mais ça pourrait aider ?)

**GalaxieA440** · 01/12/2007, 18h24

Merci pour vos réponses... Je fais des recherches et j'essaie plein de choses, mais c'est vraiment au dessus de mon niveau. Donc si vous avez des idées, suggestions, je prend... Si quelqu'un se penche dessus d'un peu plus près, je lui en serait très reconnaissant...

Merci pour tout...

GalaxieA440

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite8be57c24 · 01/12/2007, 18h58

L'idée de MiMoiMolette semble bonne :
Tu dis que :

somme ( arcsin(1/(1+i)^1/2),i=1..n) = intégrale ( arcsin(1/(1+n)^1/2)*indicatrice([1,n])dn) où dn est la mesure de comptage.
tu fais une ipp en dérivant l'arcsin :
sa te donne :

arcsin(1/(1+n)^1/2)-arcsin(1/2^(1/2))+1/2*intégrale(n^(1/2)/(n+1)*indicatrice([1,n])dn)
puis finalement en changeant de variable p^2=n:

arcsin(1/(1+p^2)^1/2)-arcsin(1/2^(1/2))+p^2_arctan(p^2)-1+PI/4

donc ton équivalent c'est n^4...
J'emmet quand même des doutes sur l'utilisation de la méthode car j'ai vu ça récemment et je ne suis pas du tout sûr que l'on est le droit d'utiliser les méthodes d'intégration classique sur des mesures de comptage (peut-être y'a t-il certaine conditions à vérifier...) Si quelqu'un de plus expérimenté pouvait confirmer infirmer ou corriger si erreur il y'a sa serait sympa

!

invite4ef352d8 · 01/12/2007, 19h11

Salut !

le théorème de somation des relation de comparaison permet d'obtenir directement que ta suite est éval a 2sqrt(n)+K+O(1/sqrt(n))

ou K est une certain constante.

par contre je doute qu'on puisse calculer K explicitement, mais on peut probablement calculer les termes suivant du dévelopement : genre de remplacer le O(1/sqrt(n)), par a/sqrt(n)+b/n+c/n^(3/2) +... en calculant explicitement a,b c etc...

**GalaxieA440** · 01/12/2007, 19h12

Bizzare parce que n^4 croit énormément plus rapidement que la somme

$\text{[math]}$

donc il n'y a pas équivalence en +l'infini. Ce que je veux (je me suis peut être mal expliqué...), c'est une fonction qui se comporte presque pareil que cette somme.

Un peu de bidouillage avec excel me donne $\text{[math]}$ qui pourrait peut être convenir. Pour vérifier j'ai étudier avec le tableur la somme ci dessus et f(n) sur 65 000 itérations, puis j'ai fais la différence des 2, et il semblerait que cette différence se stabilisent autour de -0.15 et des brouettes...

Cela dit c'est du bricolage total, mais ça donne une idée de ce qui je souhaiterai obtenir avec rigueur...

Merci de l'aide..

++

**GalaxieA440** · 01/12/2007, 19h14

Merci Ksilver !

Que penses tu de l'expression précédent que je donne ?

invite8be57c24 · 01/12/2007, 20h13

Pour le précédent post je suis sûr que c'est bourré d'erreurs de calculs mais aussi de raisonnement. Je pense qu'il faut faire une comparaison série intégrale.

En effet tu as un théorème qui dit :
Soit f une fonction continue de [1,+inf[ à valeurs dans R+ décroissante alors :
Si on note Sn=somme (f(i),i=1..n) et In=intégrale(f(x)dx,x=1..n) on a

(Sn-In) convergente.

Ici si tu prends f: x->arcsin(1/(1+x)^(1/2)) elle est décroissante et continue donc :

(Sn- In) converge vers L

On peut expliciter In en faisant une ipp puis un petit changement de variable on trouve :

In=n*arcsin(1/(n+1)^(1/2))-arcsin(1/2^(1/2))+n^(1/2)-1-arctan(n^(1/2))+PI/4

Yn=Sn-In <=> In/Sn=1-Yn/Sn (Sn est non nulle pour tout n)
et donc Comme Yn converge vers L et que Sn tends vers l'infini on a In/Sn---->1 en l'infini donc Sn et In sont équivalents !

PS : si tu veux la démo du théorème n'hésite pas !

**GalaxieA440** · 02/12/2007, 08h02

Je te remercie énormément haruspice. Je viens de faire un essais avec excel sur 120 000 itérations, et la différence suite fontion diffère de seulement 0.41 et des brouettes (valeur qui décroit lentement).

Cependant j'ai quelques petites question :

quand tu dis Sn-Ln converge vers L, L= constante ??

D'autres part, je retape ta fonction ln en latex pour que je sois sur qu'il n'y ait aucune erreur :

$\text{[math]}$

Est-ce que c'est bien la bonne ou est-ce que j'ai mal lu ?

Merci de l'aide, la démo peut éventuellement m'intéresser, mais je te le dirai plus tard, quand j'en serai sur...

invite8be57c24 · 02/12/2007, 12h05

Pour la fonction, c'est bien la bonne

!
Et oui, L est une constante.

Pour la démo n'hésite pas.

**GalaxieA440** · 02/12/2007, 12h53

Le truc c'est que je ne sais pas encore si je vais m'en sortir avec cette fonction, donc je ne voudrais pas t'imposer une démo a rédiger sans en être sur, mais oui, elle m'intéresse...

Merci pour ton aide ...

Cordialement

GalaxieA440

invite8be57c24 · 02/12/2007, 14h02

Soit $\text{[math]}$ Supposons f decroissante.
On pose :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

On a :

$\text{[math]}$

Car f est décroissante et donc :

$\text{[math]}$

D'où :

$\text{[math]}$

Soit encore :
$\text{[math]}$

Posons maintenant :

$\text{[math]}$

REMARQUE : cette suite est bornée
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On en déduit que cette suite est décroissante et positive donc converge.

[TEX]S_{n}\ge I_{n+1} \ge I_{n} \ge 0[\TEX]

donc :

$\text{[math]}$

On en déduit que $\text{[math]}$ admet une limite finie quand $\text{[math]}$

et voilà la démo !

(pffiou ! mon premier texte en LateX...

)

**GalaxieA440** · 02/12/2007, 18h17

Je te fais confiance de toute façon

En tout cas merci beaucoup, je verrai si ça marche et si j'arrive à résoudre mon problème...

++ A bientot

**GalaxieA440** · 02/12/2007, 18h22

Encore une petite question, comment obtient tu (rapidement...) la fonction précédente ???

invite8be57c24 · 02/12/2007, 23h21

Tu parles de la suite $\text{[math]}$ dans ton cas précis ? !

Si c'est bien ça , il te suffit d'intégrer $\text{[math]}$ par partie entre 1 et n.

Tu intégre 1 et tu dérive $\text{[math]}$

ensuite tu te retrouves avec une intégrale du genre :

$\text{[math]}$

tu pose alors $\text{[math]}$ comme changement de variable et tu arrive à une intégrale que tu sais calculer qui ressemble à :

$\text{[math]}$ tu fais l'astuce du genre :
$\text{[math]}$ et tu retombes sur le résultat

!!!
Fais juste gaffe aux coefficients devant l'intégrale, là j'ai juste détaillé les astuces de calcul, il me semble qu'un facteur 1/2 doit trainer par là et s'en aller avec le changement de variable

!!

invite4ef352d8 · 03/12/2007, 16h34

oui je suis d'accord avec ton expression haruspice : on trouve 2*sqrt(n)+qqch qui converge (par différente méthodes)

c'est bien coherent avec ton 2*sqrt(n+2)-2 + qqch qui convegre, vu que sqrt(n+2)-sqrt(n) tend vers 0.

**GalaxieA440** · 03/12/2007, 17h57

Ok je vous remercie.

Dans tous les cas j'arrive à confirmer ce que je veux, mais je ne parviens pas à quelque chose de clair et de précis...

Il s'agit d'étudier les variations de :
$\text{[math]}$

Je sais sais que cette suite est décroissante, je sais que an-a(n+1) est positif (bidouillage), mais je n'arrive pas à trouver quelque chose de puissant pour montrer cela...

Si vous avez une idée, une piste, une méthode pour m'aiguiller, je prend...

invite2c2620e2 · 03/12/2007, 21h58

Je te propose une solution qui utilise des developpements limités et des relations d'equivalences.

Voila l'idée est de comparer a_n-1/a_n a 1, sachant que les an sont positifs ca permettra de prouver la decroissance de ta suite au voisinage de l'infini.

Donc a_n-1/a_n= sqrt(n)/sqrt(n+1)*(1+arcsin(1/sqrt(n+1))

or pour n tendant vers l'infini arcsin(1/sqrt(n+1))=1/sqrt(n+1)+o(1/n)

(o sgnifie negilgeable devant par exemple au voisinage de l'infini n est negilgeable devant n² car n/n² tend vers 0) donc dans notre cas ca veut dire que le reste du developpement limité est negligeable devant 1/n.

Ensuite en faisant un autre DL, sqrt(n)/sqrt(n+1)=1-2/n+o(1/n)

Il vient donc que a_n-1/a_n=1+1/sqrt(n+1)+o(1/sqrt(n))

Donc finalement a_n-1/a_n-1~1/sqrt(n+1) ~ signifie equivalent ca veut dire se comporte de la meme facon, ici au voisinage de l'infini.

donc a_n-1/a_n-1>0 au voisinage de l'infini, ce qui te permet de conclure sur la monotonie de la suite.

**GalaxieA440** · 04/12/2007, 06h04

Intéressant

Je soumet ça à mon prof de maths dans la semaine...

Merci pour ton aide

Cordialement

GalaxieA440

**ericcc** · 04/12/2007, 17h51

Envoyé par Kix

Je te propose une solution qui utilise des developpements limités et des relations d'equivalences.

Voila l'idée est de comparer a_n-1/a_n a 1, sachant que les an sont positifs ca permettra de prouver la decroissance de ta suite au voisinage de l'infini.

Donc a_n-1/a_n= sqrt(n)/sqrt(n+1)*(1+arcsin(1/sqrt(n+1))

or pour n tendant vers l'infini arcsin(1/sqrt(n+1))=1/sqrt(n+1)+o(1/n)

(o sgnifie negilgeable devant par exemple au voisinage de l'infini n est negilgeable devant n² car n/n² tend vers 0) donc dans notre cas ca veut dire que le reste du developpement limité est negligeable devant 1/n.

Ensuite en faisant un autre DL, sqrt(n)/sqrt(n+1)=1-2/n+o(1/n)

Il vient donc que a_n-1/a_n=1+1/sqrt(n+1)+o(1/sqrt(n))

Donc finalement a_n-1/a_n-1~1/sqrt(n+1) ~ signifie equivalent ca veut dire se comporte de la meme facon, ici au voisinage de l'infini.

donc a_n-1/a_n-1>0 au voisinage de l'infini, ce qui te permet de conclure sur la monotonie de la suite.

Je revendique le copyright sur cette solution (voir dans l'autre post de Galaxie A440)

**GalaxieA440** · 04/12/2007, 18h37

Dans tous les cas si je conclus de cette façon, j'le mettrai le copyright ça c'est sur

Merci à tous

invite2c2620e2 · 04/12/2007, 20h38

Ohh!!! pr une methode aussi repandue un copyright!!! j'ai du l'utiliser au moins 100 fois durant ma prepa, en plus j'etais meme pas aucourant qu'il y avait un dble post...mais bon ca m'a bien amusé

Approximation en + l'infini

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