approximation

[invite0589dd53]

f unr fonction continues de[-1,1]ds R.m son minimum M son maximunsur[-1,1].soit Fi une fct constante egale au réel k sur [-1,1].N(f)=sup|f(t)|sur [-1,1]
on nous demande de calculer N(f-Fi) en fonction de m M et k.ça c ok.
ensuite il faut en déduire l'existence et l'unicité d'un polynome go de meilleure approximation d'ordre 0 de f(déf: on dit que g est un polynome de meilleure approximation d'ordre n de f ssi g est une fct de Pn telle que: pour tout h appartenen a Pn, N(f-g)<ou= N(f-h)) en fonction de m et de M.Là je coince je bloque si vous pouvez m'aider ca serai vraiment sympa surtou kil ne me reste pa bcp de tp pr finir ce DM qui est un concours de l'école des ingénieurs de la ville de Paris EIVP.
merci a tous

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[invitef6a8dd1c]

Salut

Je suppose qu'en prenant n=0, ton Pn désigne l'ensemble des polynômes de degré 0 - donc des fonctions constantes (soit les Fi).
Montrer l'existence de g0 revient alors à montrer que l'ensemble des fonctions N(f-Fi) admet une borne inférieure, puis de montrer son unicité, c'est-à-dire que l'inégalité est stricte pour tout h différent de g0.

Bonne chance,
Geoffrey

[invite0589dd53]

encore un souci dans ce dm
s(µ)=sup|sin(t)-µt|sur [-1,1] µ appartien a R et t appartient a [-1,1]
il faut calculer s(sin1) et s(1) et montrer que s(sin1)<s(1). je suppose cela facile mai bon je sui un peu bloké car j'arive pa a faire une belle rédaction!
otre question:
montrer que s admet un minimum sur R, atteint pour un unique µo, et que µo appartien a l'intervalle ]sin1,1[.
pour cela on sait ke s est continue sur R je pense kil ya dessous un truc sur le théoreme des valeurs intermédiaires.mai je m'en souviens plus
merci pour votre aide

[invitef6a8dd1c]

s(µ) est un nombre, qui a une propriété particulière, c'est qu'il est défini comme la borne supérieure d'une fonction.
Il te faut donc étudier les variations de la fonction f_µ(x) = |sin(x)-µx|. En particulier, tu devrais observer que cette fonction admet un maximum, qui correspond à ton s(µ). En étudiant les 2 fonctions f_sin1 et f₁, tu devrais pouvoir répondre à la première question.
La 2ème n'est pas beaucoup plus difficile, si tu peux exprimer "simplement" s(µ) en fonction de µ. Tu n'as alors plus qu'à étudier les variation de ta fonction s pour conclure

Geoffrey

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0589dd53]

pour la 2eme je sui d'accor mé en fait ya 2 variables x et µ!

[invitef6a8dd1c]

Non, tu n'as bien qu'une seule variable.
Regarde ta fonction s, de quoi dépend-elle ?

Geoffrey

[invite0589dd53]

s(µ)=sup|sin(t)-µt|pour t appartenant a [-1,1], ya bien le t aussi ki varie non?

[invitef6a8dd1c]

Le t varie dans l'intervalle [-1;1], on est d'accord, puisqu'on doit trouver le sup.
Mais ce sup, lui, ne dépend pas du paramètre t, mais de l'intervalle.
Tout ce qu'on peut dire, c'est qu'il existe une valeur de t dans [-1;1] telle que |sin(t)-µt| atteint un maximum. Quelle est cette valeur de t, on s'en moque.

C'est comme si tu considères la fonctions f(µ) = inf(t²-µ) pour t dans l'intervalle [-1;1]. Ici, c'est clair, la fonction atteint son minimum pour t=0, et ce minimum vaut -µ, donc il ne dépend plus du paramètre t.

J'espère que c'est plus clair.
Geoffrey

[invite0589dd53]

merci pour vos réponse!
j'ai un peu encore besoin d'aide pour une question a priori simple mais ke je n'arive pa a bien expliquer!Soit R un polynone de Pn(sev formé de la fonction nulle et des polynome de degré inférieur ou= à n), montrer qu'il existe n+1 réels UNIQUES c0,c1...cn tels que pour tout t appartenant a [-1,1] R(t)=sum(sur k de zéro à n de) ckPk(t)
merci pour votre réponse
laure

[invitef6a8dd1c]

Je ne suis pas sur de bien saisir ta question, il doit y avoir un problème de notation.
Tu dis d'abord que Pn représente le sev des polynômes de degré <= n (ce qui implique, il me semble la fonction nulle, dont, je crois, le degré est par convention -Inf).

Dans la suite, tu utilises Pk comme un polynôme particulier, mais tu ne le définis pas.

Geoffrey

[invitead33f2d0]

Bonjour,
Je suis également en train de me pencher sur cet exercice mais je suis bloquée sur cette question..
Comment montrer que N(f-Fi) admet une borne inférieure ?
Et surtout ... comment la calculer ?
J'ai réussi à l'encadrer mais pas précisément ..
Merci