Bonjour,
je voulais savoir deux choses à propos de l'ensembledes fonctions continues de
1) est-ce que
2) est-ce que
Merci.
Bonjour.
Pour la 1, je dirais:
en prenant fn(x)=x^n, on a une convergence simple vers 0 sur [0,1[ et vers 1 en 1. Donc pour chaque point de [0,1], fn est de Cauchy (car cv), mais lim fn =f n'appartient pas à E.
Mais j'ai peut-être une mauvaise interprétation de "topologie de la cv simple"..
bonjour rhomuald,
bon j'ai peut etre une piste pour complet avec convergence uniforme.
tu prend une suite d'element de E de cauchy
avec la definition d'une suite de cauchy tu a
de la soit tu as E complet pour la topologie convergence simple et tu note u=lim(u_n) et la avec la definition de cauchy tu obtient que u converge uniforme.
Mais il me semble que cet ensemble n'est pas complet pour la convergence uniforme car l'ensemble de {
Comme E n'est pas métrique tu veux dire est-ce que qu'il est topologiquement complet ?Envoyé par rhomuald
1) est-ce que
Banach classique.
[0;1]^[0;1] est compact
Les espaces vectoriels normés localement compact de dimension infinie sont assez rares.
merci, je vais regarder ça.
Ah oui c'est vrai la question ne se posait même pas alors.
Que veux dire "topologiquement complet"?
Cela veut dire que l'on peut munir l'espace d'une métrique dont :
1) la topologie induite par cette métrique coïncide avec la topologie de l'espace
2) cet espace métrique est complet
Le hic, ici, c'est que la topologie de la convergence simple ne provient pas d'une métrique dès que l'ensemble de départ est infini (et [0,1] l'est).wiki
C([0,1],R) n'est pas localement compact. En effet, une manière de définir la topologie de la convergence simple (et celle que je trouve la plus simple) est la topologie la moins fine rendant toutes les applications évaluations continues. (Elle coïncide avec la topologie produit).
Un ouvert est une union d'ouverts élémentaires càd du type
Pour être localement compact, il faudrait qu'au moins un de ces ouverts élémentaires est une adhérence compacte. Or, si on considère un point x de [0,1] n'appartenant pas à la famille des xi, il est facile de montrer que evx(U)=R (il suffit de considérer des applications affines par morceaux). Donc,
Concernant les réponses de ThSQ sur la convergence uniforme, juste préciser pour la complétude que cela sous-entend pour la norme usuelle (ce qui le rend topologiquement complet dans tous les cas).
Cela veut dire que l'on peut munir l'espace d'une métrique dont :
1) la topologie induite par cette métrique coïncide avec la topologie de l'espace
2) cet espace métrique est complet
Le hic, ici, c'est que la topologie de la convergence simple ne provient pas d'une métrique dès que l'ensemble de départ est infini (et [0,1] l'est).wiki
C([0,1],R) n'est pas localement compact. En effet, une manière de définir la topologie de la convergence simple (et celle que je trouve la plus simple) est la topologie la moins fine rendant toutes les applications évaluations continues. (Elle coïncide avec la topologie produit).
Un ouvert est une union d'ouverts élémentaires càd du type
Pour être localement compact, il faudrait qu'au moins un de ces ouverts élémentaires est une adhérence compacte. Or, si on considère un point x de [0,1] n'appartenant pas à la famille des xi, il est facile de montrer que evx(U)=R (il suffit de considérer des applications affines par morceaux). Donc,
Concernant les réponses de ThSQ sur la convergence uniforme, juste préciser pour la complétude que cela sous-entend pour la norme usuelle (ce qui le rend topologiquement complet dans tous les cas).
Merci Homotopie, ç'est quoi une application évaluations?
La définition de la topologie de la convergence simple que j'ai (enfin donnée seulement pour
c'est à partir des ensembles élémentaires
qui sont la base de cette topologie.
De quelle topologie produit parles-tu, je n'ai vu que les produits finis d'espaces?
Une application évaluation est pour un élément x de l'ensemble de départ (qui n'a pas besoin d'être muni d'une topologie) evx(f)=f(x).
Tu peux constater que
Les ouverts de la topologie d'un produit infini d'espace
Le plus important à voir c'est qu'avec ta définition il est facile de montrer que les applications évaluations sont continues (et surjectives sur R) donc leurs adhérences ne peuvent être compactes. C([0,1],R) muni de la topologie de la convergence simple n'est donc pas localement compacte. (C([0,1], [0,1]) est bien compact par contre pour la même topologie, ce n'est pas trivial.)
Infini et non-dénombrable je crois bien ...
Certes mais ici infini est suffisant.
Ce point là déjà est beaucoup plus clair,Une application évaluation est pour un élément x de l'ensemble de départ (qui n'a pas besoin d'être muni d'une topologie) evx(f)=f(x).
Tu peux constater que
merci homotopie.
Pourquoi ?
Pour la démonstration par l'absurde du fait que C([0,1],R) n'est pas localement compact, j'ai compris.
On utilise quoi pour montrer la compacité de C([0,1], [0,1])?
C'est le th. de Tychonov.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...me_de_Tychonov
Merci ThSQ
