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Topologie



  1. #1
    rhomuald

    Topologie


    ------

    Bonjour,

    je voulais savoir deux choses à propos de l'ensemble des fonctions continues de dans ,

    1) est-ce que est complet pour la topologie de la convergence simple? pour la topologie de la convergence uniforme?

    2) est-ce que est localement compact pour la topologie de la convergence simple? pour la topologie de la convergence uniforme?

    Merci.

    -----

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  4. #2
    Ledescat

    Re : Topologie

    Bonjour.

    Pour la 1, je dirais:
    en prenant fn(x)=x^n, on a une convergence simple vers 0 sur [0,1[ et vers 1 en 1. Donc pour chaque point de [0,1], fn est de Cauchy (car cv), mais lim fn =f n'appartient pas à E.

    Mais j'ai peut-être une mauvaise interprétation de "topologie de la cv simple"..
    Cogito ergo sum.

  5. #3
    poulecaca

    Re : Topologie

    bonjour rhomuald,
    bon j'ai peut etre une piste pour complet avec convergence uniforme.
    tu prend une suite d'element de E de cauchy
    avec la definition d'une suite de cauchy tu a
    de la soit tu as E complet pour la topologie convergence simple et tu note u=lim(u_n) et la avec la definition de cauchy tu obtient que u converge uniforme.
    Mais il me semble que cet ensemble n'est pas complet pour la convergence uniforme car l'ensemble de { } pour epsilon dans R+* n'est pas forcement majoré.

  6. #4
    ThSQ

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    1) est-ce que est complet pour la topologie de la convergence simple
    Comme E n'est pas métrique tu veux dire est-ce que qu'il est topologiquement complet ?

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    pour la topologie de la convergence uniforme?
    Banach classique.

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    localement compact pour la topologie de la convergence simple ?
    [0;1]^[0;1] est compact

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    localement compact pour la topologie de la convergence uniforme?
    Les espaces vectoriels normés localement compact de dimension infinie sont assez rares.
    Dernière modification par ThSQ ; 22/01/2008 à 19h33.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    rhomuald

    Re : Topologie

    merci, je vais regarder ça.

  9. #6
    rhomuald

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par ThSQ Voir le message
    Comme E n'est pas métrique tu veux dire est-ce que qu'il est topologiquement complet ?

    Ah oui c'est vrai la question ne se posait même pas alors.
    Que veux dire "topologiquement complet"?

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  11. #7
    homotopie

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Ah oui c'est vrai la question ne se posait même pas alors.
    Que veux dire "topologiquement complet"?
    Cela veut dire que l'on peut munir l'espace d'une métrique dont :
    1) la topologie induite par cette métrique coïncide avec la topologie de l'espace
    2) cet espace métrique est complet
    Le hic, ici, c'est que la topologie de la convergence simple ne provient pas d'une métrique dès que l'ensemble de départ est infini (et [0,1] l'est).wiki

    C([0,1],R) n'est pas localement compact. En effet, une manière de définir la topologie de la convergence simple (et celle que je trouve la plus simple) est la topologie la moins fine rendant toutes les applications évaluations continues. (Elle coïncide avec la topologie produit).
    Un ouvert est une union d'ouverts élémentaires càd du type où I est fini, les xi sont des points de [0,1], les Ui des ouverts de R.
    Pour être localement compact, il faudrait qu'au moins un de ces ouverts élémentaires est une adhérence compacte. Or, si on considère un point x de [0,1] n'appartenant pas à la famille des xi, il est facile de montrer que evx(U)=R (il suffit de considérer des applications affines par morceaux). Donc, qui est non compact contrairement à l'image continue d'un compact.

    Concernant les réponses de ThSQ sur la convergence uniforme, juste préciser pour la complétude que cela sous-entend pour la norme usuelle (ce qui le rend topologiquement complet dans tous les cas).

  12. #8
    rhomuald

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Cela veut dire que l'on peut munir l'espace d'une métrique dont :
    1) la topologie induite par cette métrique coïncide avec la topologie de l'espace
    2) cet espace métrique est complet
    Le hic, ici, c'est que la topologie de la convergence simple ne provient pas d'une métrique dès que l'ensemble de départ est infini (et [0,1] l'est).wiki

    C([0,1],R) n'est pas localement compact. En effet, une manière de définir la topologie de la convergence simple (et celle que je trouve la plus simple) est la topologie la moins fine rendant toutes les applications évaluations continues. (Elle coïncide avec la topologie produit).
    Un ouvert est une union d'ouverts élémentaires càd du type où I est fini, les xi sont des points de [0,1], les Ui des ouverts de R.
    Pour être localement compact, il faudrait qu'au moins un de ces ouverts élémentaires est une adhérence compacte. Or, si on considère un point x de [0,1] n'appartenant pas à la famille des xi, il est facile de montrer que evx(U)=R (il suffit de considérer des applications affines par morceaux). Donc, qui est non compact contrairement à l'image continue d'un compact.

    Concernant les réponses de ThSQ sur la convergence uniforme, juste préciser pour la complétude que cela sous-entend pour la norme usuelle (ce qui le rend topologiquement complet dans tous les cas).

    Merci Homotopie, ç'est quoi une application évaluations?

    La définition de la topologie de la convergence simple que j'ai (enfin donnée seulement pour , je ne sais pas si c'est toujours pareil quand l'espace d'arrivée est
    c'est à partir des ensembles élémentaires
    qui sont la base de cette topologie.


    De quelle topologie produit parles-tu, je n'ai vu que les produits finis d'espaces?
    Dernière modification par rhomuald ; 22/01/2008 à 22h05.

  13. #9
    homotopie

    Re : Topologie

    Une application évaluation est pour un élément x de l'ensemble de départ (qui n'a pas besoin d'être muni d'une topologie) evx(f)=f(x).
    Tu peux constater que . Nos définition se recoupent bien.

    Les ouverts de la topologie d'un produit infini d'espace sont les unions des ouverts élémentaires de la forme où tous les Ui sont des ouverts de Ei dont seulement un nombre fini sont distincts de Ei.

    Le plus important à voir c'est qu'avec ta définition il est facile de montrer que les applications évaluations sont continues (et surjectives sur R) donc leurs adhérences ne peuvent être compactes. C([0,1],R) muni de la topologie de la convergence simple n'est donc pas localement compacte. (C([0,1], [0,1]) est bien compact par contre pour la même topologie, ce n'est pas trivial.)

  14. #10
    ThSQ

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    topologie de la convergence simple ne provient pas d'une métrique dès que l'ensemble de départ est infini
    Infini et non-dénombrable je crois bien ...

  15. #11
    homotopie

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par ThSQ Voir le message
    Infini et non-dénombrable je crois bien ...
    Certes mais ici infini est suffisant.

  16. #12
    rhomuald

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Une application évaluation est pour un élément x de l'ensemble de départ (qui n'a pas besoin d'être muni d'une topologie) evx(f)=f(x).
    Tu peux constater que . Nos définition se recoupent bien.
    Ce point là déjà est beaucoup plus clair,

    merci homotopie.

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  18. #13
    ThSQ

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Certes mais ici infini est suffisant.
    Pourquoi ?

  19. #14
    rhomuald

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Le plus important à voir c'est qu'avec ta définition il est facile de montrer que les applications évaluations sont continues (et surjectives sur R) donc leurs adhérences ne peuvent être compactes. C([0,1],R) muni de la topologie de la convergence simple n'est donc pas localement compacte. (C([0,1], [0,1]) est bien compact par contre pour la même topologie, ce n'est pas trivial.)
    Pour la démonstration par l'absurde du fait que C([0,1],R) n'est pas localement compact, j'ai compris.

    On utilise quoi pour montrer la compacité de C([0,1], [0,1])?

  20. #15
    ThSQ

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    On utilise quoi pour montrer la compacité de C([0,1], [0,1])?
    C'est le th. de Tychonov.

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...me_de_Tychonov

  21. #16
    rhomuald

    Re : Topologie

    Merci ThSQ

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