Réduction d'endomorphismes et polynômes caractéristiques

[invite2cb68e80]

Salut à tous !!

Voila je suis en premiere année à Polytech et le rythme me parait trés faible. J'ai donc décidé de repostuler à l'INSA et je me prépare en regardant un peu les cours de 1ére année de cette (ces) écoles.Seulement c'est pas facile d'apprendre sa tout seul et j'ai quelques petits problémes. J'ai appris les cours d'algébre linéaire des deux premieres années de ma fac et j'ai quelques problémes qui me tracassent.

Surtout il me manque la méthode pour calculer les valeurs propres d'un endomorphisme (c'est la qu'on voit que les TD sont trés utiles ^^) je sais que ça correspond aux racines du polynome avec A la matrice associée à l'endomorphime f.

Donc par exemple dans le cas où on a et A sa matrice associée telle que

Donc là je dis que

Donc je calcule le determinant et je trouve
(méthode de Sarrus)

A partir de la je bloque et j'arriv pas a trouver les racines... c'est surement basique mais bon.

Je fais donc appel à votre générosité sans limite pour m'aider

PS : J'ai aussi quelques problémes avec les formes m-linéaires alternées (je comprends pas bien cette phrase : "f est linéaire par rapport a chacun de ses arguments" )
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[invite847a6aeb]

Salut,

Tu as pris un cas général ce qui complique considérablement la tache.
Une fois que tu as calculé ton determinant, il faut que tu trouves les racines de ton équation. Comme on ne sait pas à notre niveau résoudre les équations du troisième degré, tu dois d'abord trouver une solution particulière. Ici par exemple car
Il te suffit donc de mettre en facteur dans ton équation afin de retomber sur une équation du second degré que tu devra résoudre pour trouver les autres valeurs propres.

Voilà, j'espère que c'est plus clair maintenat sinon n'hésite pas à redemander.

[invite2cb68e80]

Ok merci beaucoup je vois mieux la démarche maintenant. Mais sans raicnes évidentes comment fait-on ?

PS : petite question. Quelque chose me chagrine dans ce que tu écris: tu marques alors que l'énnoncé dit justement que

[invitec053041c]

C'est un oubli de sa part.
Il voulait écrire A-(a-b)I=...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Mais sans raicnes évidentes comment fait-on ?

En T.D., examens... si on doit les calculer explicitement alors il y en a ou l'énoncé aide à les trouver.
On peut parfois se passer de les calculer explicitement.
Dans la pratique, soit on fait des approximations, soit on manipule les valeurs propres algébriquement (le polynôme qui les annule nous fournit beaucoup de renseignements), soit on mélange les deux.

PS : J'ai aussi quelques problémes avec les formes m-linéaires alternées (je comprends pas bien cette phrase : "f est linéaire par rapport a chacun de ses arguments" )

f a m arguments être linéaire par rapport à chacune d'elle veut dire que pour tout indice i dans {1,2,...,m}

Pour tous les x₁,...x_i,..x_m, y_i dans E et tous les scalaires a et b.