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polynômes d'endomorphismes



  1. #1
    helmut

    polynômes d'endomorphismes


    ------

    Bonjour à tous
    Voici le début d'un probléme

    Soit un K-espace vectoriel E et u appartenant a L(E) fixé. Montrer qu'en posant Fu(1K)=IdE et Fu(X)=u on définit :

    Une application linéaire Fu (K[X],+,.)->(L(E),+,.)
    un morphisme d'anneau Fu (K[X],+,.)->(L(E),+,o)
    on construira le morphisme d'anneau en montrant notamment que l'on peut poser pour tout n de N, Fu(X^n)=UoUoU...oU n fois

    et je n'arrive pas à montrer le morphisme d'anneau
    Si quelqu'un y arrive ce serait tres sympa de m'aider
    merci

    -----

  2. #2
    GuYem

    Re : polynômes d'endomorphismes

    Salut, j'ai peur que tu n'aies pas trés bien compris la question, et qu'elle soit peut-être aussi mal posée si tu l'as recopié comme telle.

    J'appelle l'application F pour alléger.
    Voilà comment je vois les choses, tu poses dans un premier temps
    F(1)=identité.
    F(X)=u.
    Ca c'est fait. Ensuite tu imposes à F d'être un morphisme d'anneau. En faisant cela tu définis complètement l'application!
    En effet : prends un monome de la forme X^k. Puisque F est un morphisme d'anneau, il respecte la multipliccation des anneaux en question. Du coup puisque F(X)=u, alors F(X^k)=F(X*X*..X*X)=F(X)°F(X). ..°F(X) = u^k, en détaillant bien les calculs.
    Idem pour tes polynomes en utilisant cette fois le fait que ca respecte l'addition aussi.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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