polynomes

[invite0781c82b]

Dites je suis tombé sur une chose bizarre , on a un arc OC qui est une partie d'une courbe C d'équation y = ax³ + bx² + cx + d , j'ai les coordonnées de O (0;0) et ceux de C ( 1.25 ; 0.3 ) , vous voyez un moyen pour déterminer a , b , c et d ?
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[invite39dcaf7a]

Salut,

J'imagine que O et C appartiennent à l'arc. Grâce au point O, tu trouves que d = 0 en remplaçant x et y par 0. Tu n'as plus qu'à déterminer a b et c mais tu n'as pas d'autres points que C pour pouvoir écrire un système ?
Ou as-tu d'autres renseignements sur la courbe ?

[invite4793db90]

Dites je suis tombé sur une chose bizarre , on a un arc OC qui est une partie d'une courbe C d'équation y = ax³ + bx² + cx + d , j'ai les coordonnées de O (0;0) et ceux de C ( 1.25 ; 0.3 ) , vous voyez un moyen pour déterminer a , b , c et d ?

Salut,

ton polynôme est de degré 3, donc tu as 4 inconnues (a, b, c, d). Or tu as deux points distincts, donc deux équations indépendantes. Un système linéaire de deux équations à quatre inconnues se résoud, mais tu obtiendras une infinité de solution (un plan).
(Pour une solution unique, il faudrait avoir quatre points distincts)

Cordialement.

[shokin]

Tu as y=ax^3+bx^2+cx+d. (1)

Tu as (0;0) et (5/4;3/10) qui sont des (x;y).

Tu as alors deux équations :

l'une où tu remplaces dans (1) x et y respectivement par 0 et 0
l'autre où tu remplaces dans (1) x et y respectivement par 5/4 et 3/10.

Pour la première, tu te rends compte que :

0=d

Donc tu as la fonction y=ax^3+bx^2+cx.

Donc xy=ax^2+bx+c. (avec x non nul)

Donc pour le deuxième couple, tu as :

3/8=a*25/16+b*5/4+c ce qui te laisse beaucoup de solutions (un plan).

y'=3ax^2+2bx+c Donc f'(0)=c.

y''=6ax+2b

y''=0=6ax+2b

X=-b/3a pour le point d'inflexion (le point de centre de symétrie centrale pour une fonction de degré 3). Donc f(-b/3a+m)=2*f(-b/3a)-f(-b/3a-m).

Donc f(-b/3a)=ax^3+bx^2+cx avec x=-b/3a.

f(-b/3a)=a*(-b/3a)^3 + b(-b/3a)^2 + c(-b/3a)

=-b^3/27a^2 + b^3/9a^2 -bc/3a

= [4b^3-9abc]/27a^2

= (b/27a^2)*(4b^2-9ac)=Y qui est la coordonnée y du point d'inflexion.

Donc le point d'inflexion est (X;Y)=(-b/3a;[4b^3-9abc]/27a^2).

Connaissant O(0;0) et C(5/4;3/10), tu peux connaître leur correspondants (point de vue de la symétrie centrale de centre (X;Y)) en sachant que 2f(X)=f(X+m)+f(X-m).

Tu as alors deux nouveaux points donc deux nouvelles équations.

[Mais vont-elles t'aider... ?]

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0781c82b]

en fait le problème est très mal posé car le but du jeu est de calculer l'intégrale de l'arc AOC , j'ai l'équation de l'arc OA qui est y = 5.3x² et il me faut celui de l'arc OC , car le fond du problème c'est de calculer un volume par métre linéaire , donc tout simplement de faire l'intégrale de l'arc AOC multiplié par 1 mètre , et pour l'arc OC je n'ai que 2 points , ça me paraissait louche alors que le problèmùe doit être très simple avec une équation pour chaque arc...

[shokin]

heu... tu dois calculer deux intégrales, l'une de AO (que tu ne connais pas) et l'une de OC (que tu connais déjà).

A moins qu'il n'y ait qu'une même intégrale de AO et de OC donc de AOC, et la fonction est la même de AO à OC.

Dans le cas où tu as deux fonctions différentes, il faudrait en savoir plus sur A... et sur la fonction allant de A à O.

Dans le cas où tu n'as qu'une seule et même fonction, et comme O est situé sur l'axe des x, A est sûrement situé "sous l'axe des x" (f(a)<0). Tu calcules l'intégrales de la fonction de A à O, ceci te donnera l'opposé (négatif donc) de l'aire comprise entre l'axe des x, l'arc AO et les bornes a et 0. Tu calcules ensuite l'intégrale de la fonction de O à C (C est situé au-dessus de l'axe des x), qui sera égale à l'aire comprise entre l'arc OC, l'axe des x et les bornes 0 et c. Tu additionnes les deux aires.

Tu sembles connaître la fonction :

j'ai l'équation de l'arc OA qui est y = 5.3x²

Tu veux dire 53/10 * x^2 ou 5*3x^2 (=15x^2) ?

tu connais l'intégrale de ax^n, a/(n+1) * x^n+1.

Shokin

[invite0781c82b]

je vais essayer de résumer car là on complique inutilement à mon avis :

j'ai 3 points , A , O , et C , de coordonnées respectives (-0.75 ; 0.30 ) , (0;0) et (1.25 ; 0.30) . L'arc OA a pour équation y = kx² , je l'ai calculé ça donné y = 5.3x² , donc là tout va bien je peux calculer l'intégrale sous l'arc OA . Et j'ai l'arc OC d'équation y = ax³ + bx² + cx + d , et apparemment je ne connais que 2 points de cet arc , entre autre O et C , et je dois déterminer a ,b , c et d , c'est ça qui me parait bizarre , je n'ai pas plus de donnée numérique...et il ya une seule équation pour OC .
En gros oui je dois faire la somme de 2 intégrales...

[shokin]

Ah ! si tu nous dis tout !

Donc pour l'arc OA, tout est bon !

L'arc OA a pour équation y = kx² , je l'ai calculé ça donné y = 5.3x²

J'ai calculé. Au lieu d'écrire 5.3x^2, tu devrais écrire 16/3 * x^2 ou (16x^2)/3. [Le 5.3 passe pour un 53/10.]

Pour l'arc OC... si vraiment tu n'as aucune information autre que celles déjà donnée, je ne vois que ce que j'ai dit précédemment :

Une fonction du troisième degré, du genre f(x)=ax^3+bx^2+cx+d est toujours "centralement symétrique". Càd, qu'il existe un point P de cette fonction tel que tout point de la fonction ait une image par symétrie centrale de centre P sur cette même fonction. Autrement dit, si tu retournes la fonction de pi autour du point P, tu retrouves la même fonction.

Soit P(X;f(X)) ce point central, alors f(X+m)+f(X-m)=2f(X) pour tout m réel et uniquement pour ce (X;f(X)).

Connaître le point P te permet donc de trouver à partir d'un point de la fonction un autre point de la fonction.

Ce point central est le point d'inflexion de la fonction du troisième degré. Le point P tel que f''(X)=0.

Alors tu dérives deux fois f(x).

Tu trouves X tel que f''(X)=0.

Tu trovues f(X).

Tu as donc P(X;f(X)).

Connaissant O et P, tu connais alors un autre point selon f(X+m)+f(X-m)=2f(X) avec 0=X-m, tu connais m et 0=f(X-m)...

Connaissant C et P, tu connais alors un autre point de la même manière.

Tu as donc 4 points, donc 4 équations.

Comme elles sont composées de beaucoup de lettres, je ne sais pas si elles vont t'aider (peut-être risques-tu de tomber sur des équations équivalentes donc peu utiles...).

Mais tu connais O(0;0), tu as donc vu que d=0.

Shokin