polynômes...

[invitebe1531d1]

Bonjour à tous, j'ai un très long devoir à la maison mais je bloque sur une question : voici l'énoncé d'une partie de l'exercice.

m désigne un nombre réel non nul. On désigne par Pm la parabole représentant la fonction fm définie dans R par:
fm(x)=mx2-4mx+4m+2
H est la courbe représentative de la fonction d définie par g(x)=x-4/x-3

3) Montrer qu'un point M(x, y) appartient à la fois à l'hyperbole H et à la parabole Pm ssi, son abscisse x est solution de l'équation:
mx3-7mx2+(16m+1)x-12m-2=0
C'est bon ça je l'ai trouvé!

4) b)Déterminer les réels am, bm et cm tels que:
mx3-7mx2+(16m+1)x-12m-2=(x-2)(amx2+bmx+cm)
j'ai trouvé: am=m
bm=-5m
cm=6m+1

c) Déduire de la factorisation établie à la question b:
-l'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont un seul point commun
-l'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont 2 points communs
-l'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont trois points communs
C'est pour cette dernière question qque je bloque!
Merci d'avance pour toute aide!
Bonnes fêtes à tous!!!
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

A partir de la forme factorisée (x-2)(a_mx²+b_mx+c_m), tu déduis que :
* (x-2)(a_mx²+b_mx+c)=0 admet toujours au moins une solution (x=2).
* il te reste à déterminer le discriminant du polynôme a_mx²+b_mx+c=0 en fonction de m. Après c'est une étude de cas :

¤ => pas de solution (autre que x=2)

¤ => une autre solution (donc 2 solutions)

¤ => deux autres solutions (donc 3 solutions)

Le but est d'écrire l'ensemble des solutions m vérifiant chacun des cas...

Duke.

[invitebfd92313]

tu obtiens à la question 4b un polynome, nommons le p(x).
tu sais que les abscisses des points d'intersection entre les 2 courbes verifient p(x)=0
un produit de facteurs est nul....
donc 2 est l'une des solutions qui mène donc à un point d'intersection. reste a étudier le facteur du second degré, tu sais qu'il y aura aucune solution si delta est négatif, 1 solution si il est nul et 2 solutions si il est positif. Trouves donc delta, et détermine les valeurs de m pour que, en comptant la solution 2, ton équation ait 1, 2 ou 3 solutions. Il y aura autant de points d'intersection entre les deux courbes.

edit : Il y a eu croisement, duke fait pâlir ma présentation ^^

[invitebe1531d1]

Ah, d'accord j'ai compris!merci beaucoup de votre aide et passez de bonnes fêtes!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe1531d1]

En fait je n’ai pas tout compris…
J’ai calculé ∆ je trouve ∆=m² - 4m
Après il faut distinguer 3 cas :
*si ∆>0 il y a deux solutions mais je ne trouve pas lesquelles –b+√∆/2a et –b-√∆/2a
* si ∆=0 il y a une solution qui est égale à –b/2a
*si ∆<0 il n’y a pas de racines donc il n’y a qu’un seul point d’intersection entre les courbes Pm et H c’est x=2. Je ne comprends pas ! C’est quoi alors l’ensemble des points m ???
aidez moi s’il vous plait je ne comprends pas ce qu’est l’ensemble m !!!
merci d'avance

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

En fait je n’ai pas tout compris…
J’ai calculé ∆ je trouve ∆=m² - 4m...

Je n'ai pas vérifié le discriminant que tu as trouvé.
∆ = m²-4m = m*(m-4)
Sur quel intervalle de valeurs de m,
* ∆ = 0 ?
* ∆ < 0 ?
* ∆ > 0 ?
(Aide-toi de la forme factorisée que j'ai proposée ci-dessus, ça ira mieux )

Voilà

Duke.

[invitebe1531d1]

Bin j’ai fait un tableau de signes et j’ai trouvé :
*Δ<0 ssi m appartient à l’intervalle ]0, 4[
*Δ=0 ssi m=0 ou m=4
*Δ>0 ssi m appartient à l’intervalle ]-infini, 0[ U ]4, +infini[

Donc ça voudrais dire que pour que Pm et H n’aient qu’un seul point d’intersection, m doit être compris entre 0<m<4
Pour que Pm et H aient deux points d’intersections, m doit être égale à 0 ou à 4
Pour que Pm et H aient 3 points d’intersections, m > 4 et m <0
Est-ce que c’est ça ?

[invitebe1531d1]

quelqu'un pourrait me dire si ce que j'ai fait est juste? s'il vous plait...

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Bin j’ai fait un tableau de signes et j’ai trouvé :
*Δ<0 ssi m appartient à l’intervalle ]0, 4[
*Δ=0 ssi m=0 ou m=4
*Δ>0 ssi m appartient à l’intervalle ]-infini, 0[ U ]4, +infini[

Donc ça voudrais dire que pour que Pm et H n’aient qu’un seul point d’intersection, m doit être compris entre 0<m<4
Pour que Pm et H aient deux points d’intersections, m doit être égale à 0 ou à 4
Pour que Pm et H aient 3 points d’intersections, m > 4 ou m <0
Est-ce que c’est ça ?

Ca m'a l'air correct (en tout cas pour le raisonnement)
ATTENTION à ce que j'ai modifié en gras dans le post ci-dessus

[invitebe1531d1]

merci de ton aide...
Salut