Fonction lipschtzienne

[invite7ffe9b6a]

Bonsoir,

Toute fonction de classe C¹ sur un segment de R y est lipschitzienne et donc uniformement continue.

La réciproque est-elle vrai???

Dans le cas contraire,
quel contre exemple marche?

existe t-il des fonction lipschiztienne non derivable?
et certaines derivables mais dont la dérivée n'est pas continue?



En esperant avoir des réponses,
merci d'avance
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[invite57a1e779]

Toute fonction de classe C¹ sur un segment de R y est lipschitzienne et donc uniformement continue.

La réciproque est-elle vrai???

Dans le cas contraire,
quel contre exemple marche?

Non : la fonction est uniformément continue sur (et même sur si tu ne te limites pas à un segment), sans être lipschitzienne.

existe t-il des fonction lipschiztienne non derivable?
et certaines derivables mais dont la dérivée n'est pas continue?

La fonction est lipschitzienne sur , mais n'est pas dérivable.
Ici il n'y a qu'un point en lequel ce n'est pas dérivable, on peut faire mieux, mais c'est plus compliqué.

La fonction est dérivable sur , mais la dérivée est discontinue en 0.
Si l'on veut plus de discontinuités de la dérivée, c'est possible, mais plus difficile à réaliser.

[invite7ffe9b6a]

merci de la réponse.

Bonne journée

[invite7ffe9b6a]

Comment montre t-on que la fonction valeur absolue sur [-1;1] est lipshitzienne??

faut t-il montrer que l'ensemble:



est majoré?

et si oui comment faire.

C'est sans doute tout con, mais je vois pas.


parce que pour montrer que la racine carre n'est pas lipschitzienne sur [0;1], on montrer justement que l'ensemble n'etait pas majorer, en prenant x=0 et x' = 1/ (n+1), ce qui montrait que l'ensemble contenanit tous les nombre de la forme quelque soit n entier donc clairement non majoré

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Comment montre t-on que la fonction valeur absolue sur [-1;1] est lipshitzienne??

C'est l'inégalité du triangle :

parce que pour montrer que la racine carre n'est pas lipschitzienne sur [0;1], on montrer justement que l'ensemble n'etait pas majorer, en prenant x=0 et x' = 1/ (n+1), ce qui montrait que l'ensemble contenanit tous les nombre de la forme quelque soit n entier donc clairement non majoré

Si la racine carré était lipschitzienne sur [0,1], sa dérivée sur ]0,1[ serait bornée.

[invitec053041c]

Comment montre t-on que la fonction valeur absolue sur [-1;1] est lipshitzienne??

faut t-il montrer que l'ensemble:

Il existe une formule (souvent oubliée):




EDIT: bon ben..grillé .

[invite7ffe9b6a]

en effet je ne me souvenais plus de cette formule, la demo en devient evidente
merci bien.

[invite57a1e779]

Toute fonction de classe C¹ sur un segment de R y est lipschitzienne et donc uniformement continue.

Une partie de tes questions est due à une mauvaise caractérisation des fonctions lipschitziennes.

Le "bon" résultat est :
si est définie de dans , intervalle quelconque, et dérivable sur l'intérieur de , alors est lipschitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée sur l'intérieur de .

Evidemment, si la dérivée est continue sur un segment, elle est bornée, d'où le résultat tel que tu l'énonces, mais qui n'a pas de réciproque ; le résultat plus général que je donne permettant de trouver des contre-exemples à cette réciproque.

[invite7ffe9b6a]

merci mais dans mon cour je n'avait que ce que j ai ennoncé. En faite j'ai pas grand chose sur les fonctions lipschiziennes.

Le cours porte sur les fonctions continues et derivable. C'est un cours de MPSI que je relie actuellement, l'ayant survolé à l'epoque.

J'ai simplement 2,3 résultats sur les fonctions lipschiziennes et je m'interrogeais donc sur cette propriété étant donnée que je n'avais aucun contre exemple dans le cours.

Merci de m'avoir éclairci les idées.