bonjour,
je sais qu'on peut définir un polynome caractéristiques avec les matrices (c'est le déterminant de (A-xId) )
mais y a t il une facon de voir le polynome caractéristique d'un endomorphorphisme autre qu'en passant par les matrices ?
merci
Bonsoir,
Une chose est sûre : si l'endomorphisme agit dans un espace de dimension infinie, exit le polynôme caractéristique.
Donc pour pouvoir parler de polynôme caractéristique, bienvenue dans la dimension finie. Tu sais alors qu'il y a isomorphisme entre l'ensemble des endomorphisme de l'espace E de dimension n, et l'ensemble des matrices de Mn(K) où K est le corps qui sous-tant E. Or pour définir le polynôme caractéristique (qui est défini, je te le rappelle, par son action sur les scalaires), tu as besoin de manipuler des scalaires en rapport avec l'endomorphisme --> déterminant donc matrice associée à l'endomorphisme.
Tu ne peux donc pas y couper
Bonjour,Envoyé par Gwyddon
Une idée en passant, je ne sais absolument pas si ça a un sens, sans même parler de si c'est utile à quoi que ce soit...
En dimension dénombrable, rien n'empêche de calculer la série formelle det(u-X.Id), et de demander qu'elle soit convergente (euh, là, elle n'est plus seulement formelle). Et pourquoi seulement en dimension dénombrable? On aurait alors une "fonction caractéristique" d'un endomorphisme, ça ne serait sûrement pas un polynôme, mais bon...
Une fonction fu telle que fu(z) = 0 <=> ker(u-z.Id) ≠ 0, ça tient la route?
-- françois
Le polynôme caractéristique peut apparaître sans que l'on parle de matrices, ni même de déterminant. Ce qui le fait apparaître, c'est le fait que l'anneau des polynômes sur un corps k est principal: pour tout idéal I de k[X], il existe un polynôme P tel que I soit la collection des polynômes de la forme PQ, où Q est un polynôme arbitraire. De plus, ce polynôme P est totalement déterminé par I (modulo la multiplication de P par un élément non nul de k).
Si à présent je me me donne un k-espace vectoriel E, et un endomorphisme u de E, j'obtiens un morphisme d'anneaux de k[X] vers End(E) défini en envoyant X sur u (et plus généralement, le polynôme Q(X) sur l'endomorphisme de E Q(u)).
On peut alors définir l'idéal caractéristique de u comme le noyau de ce morphisme d'anneaux. Cet idéal est, comme je l'ai rappelé plus haut, déterminé par un polynôme P: c'est lui le polynôme caractéristique. La raison pour laquelle on ne fait cette construction que pour un espace vectoriel de dimension finie en général, c'est qu'alors on est certain d'obtenir un polynôme caractéristique non nul: en effet, comme k[X] est un k-espace vectoriel de dimension infinie et comme End(E) est alors un k-espace vectoriel de dimension finie, l'idéal I est alors nécessairement non nul (de dimension infinie sur k), et donc itou pour P.
Cette manière de voir permet de généraliser la notion de polynôme caractéristique à d'autres situation. C'est par exemple de cette manière qu'Alexander a construit l'un des premiers invariant intéressant en théorie des noeuds (après le groupe de Poincaré).
Tout ce que tu as dit est juste, si tu remplaces "caractéristique" par "minimal"
Sinon je suis d'accord avec fderwelt, je ne pense pas que la notion de polynôme caractéristique ait réellement un sens en dimension infinie.
Mea culpa pour avoir confondu polynôme minimal et polynôme cractéristique.
En général, le polynôme minimal ne fait que diviser le polynôme caractéristique...
Ceci dit, la question était de retrouver la notion de polynôme caractéristique sans passer par les matrices, et le point de vue du polynôme minimal (puisque c'est de lui qu'il s'agit) va dans cette direction: si E est un k-espace vectoriel muni d'un endomorphisme u, on peut le décomposer en sous-espaces propres, et le polynôme caractéristique est (sauf erreur de ma part
Pour ce qui est des espaces de dimension infinie, dans la mesure où les histoires de polynômes caractéristiques ont fortement avoir avec les problèmes de diagolisation des endomorphismes, voici une généralisation possible: on peut par exemple diagonaliser certains endomorphismes d'espaces de Hilbert (c'est la théorie des opérateurs nucléaires). En se donnant le droit de faire des produits infinis (ce qui pourrait avoir un sens si on travaille dans l'anneau des séries formelles à coefficients dans k), la notion de "série caractéristique" pourrait bien avoir un sens dans le cas où chacun des sous-espaces propres est de dimension finie.
Effectivement de cette manière là tu retrouves le polynôme caractéristique, bien vu.
Après, pour la généralisation à la dimension infinie, effectivement j'avais vu jadis une définition de la diagonalisation du genre de celle que tu évoques, mais pour ce qui est du polynôme caractéristique, ça me dépasse..
bonjour je ne suis pas une experte de l'algèbre j'aurais donc du mal a répondre a toutes ces questions, en revanche quelqu'un peut peut- être répondre a la mienne.
Mon professeur a défini dans le cour le polynome caractéristique comme étant le det de lamba identité moins la matrice mais dans de nombreux livres je trouve que le polynome caractéristique est en fait le determinant de la matrice moins lamba identité.
cette différence est-elle importante?
merci pour les répones a venir
Le plus souvent on s'interesse aux racines de ce polynome donc qu'on prenne l'une ou l'autre des definitions, c'est pareil.
La ou il faut surement faire attention, c'est pour les proprietes des coefficients du genre : le monome dominant est, le monome de degre n-1 est
pour ce qui est de l'utilisation je n'ai pas de souci, mais je viens de passer le concour ccp (la semaine dernière) et l'une des question était explicitement calculer le polynome caractéristique, et c'est en discutant avec d'autres élèves que je me suis appercu de ces 2 définitions différentes d'une même chose
