Topologie !

[invitecbade190]

Bonjour:
Théorème:
L'ensemble des points d'accumulation d'une suite est égale à :

Démonstration:
Soit : un point d'accumulation de .
Posons : .
Soit .
Montrons que: est dans l'adhérence de .
Soit: et :
Supposons que: .
Posons: , .
Alors: est un voisinage de qui n'intersecte pas . Donc est un point d'accumulation de , ce qui est absurde par hypothèse.
Donc: . Et comme est quelconque, est dans l'adhérence de . De plus, comme est aussi quelconque dans :
.
Montrons maintenant que si: alors est un point d'accumulation de .
Soit donc un voisinage de , On a en particulier: , ce qui prouve immediatement la propriété voulue.
Question:
Pourriez vous m'expliquez les passages en rouge dans la démonstration, et merçi d'avance !!
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[invite35452583]

Alors: est un voisinage de qui n'intersecte pas . Donc est un point d'accumulation de , ce qui est absurde par hypothèse.

Déjà B(x,r') est inclus dans B(x,r) qui ne conteint aucun xn' avec n'>n. De plus, pour i compris entre 1 et n B(x,r') est inclus dans B(x,d(x,xi)) donc xi n'est pas dans B(x,r'). Ainsi aucun élément de la suite (xn) n'est dans B(x,r').
Par contre la suite est "Donc x n'est pas un point d'accumulation de puisqu'un voisinage de x n'intersecte pas cet ensemble. Et c'est absurde car x a été supposé point d'accumulation de cet ensemble.

[invitecbade190]

Merçi beaucoup homotopie!