on considère un ensemble E muni de la topologie grossière qui comprend plus d'un point, comment montrer que tout sous-ensemble de E réduit à un point est un sous-espace compact?
Merci pour votre aide.
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13/01/2008, 21h41
#2
God's Breath
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Re : topologie
Envoyé par rhomuald
Bonsoir,
on considère un ensemble E muni de la topologie grossière qui comprend plus d'un point, comment montrer que tout sous-ensemble de E réduit à un point est un sous-espace compact?
Merci pour votre aide.
Quelle est la topologie d'un sous-ensemble de E réduit à un point ? Comment obtenir un recouvrement ouvert ?
13/01/2008, 21h44
#3
invite769a1844
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Re : topologie
Envoyé par God's Breath
Quelle est la topologie d'un sous-ensemble de E réduit à un point ? Comment obtenir un recouvrement ouvert ?
pardon, c'est une erreur de ma part, c'est plutôt
tout sous-ensemble de E non réduit à un point est un sous-espace compact
13/01/2008, 21h54
#4
invite769a1844
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Re : topologie
Envoyé par rhomuald
pardon, c'est une erreur de ma part, c'est plutôt
tout sous-ensemble de E non réduit à un point est un sous-espace compact
mais ici, ce qui m'est pas clair c'est que les recouvrement de ce sous-ensemble ne seront fait qu'avec E et l'ensemble vide vu qu'on est en topologie grossière.
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
13/01/2008, 22h07
#5
God's Breath
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Re : topologie
Envoyé par rhomuald
mais ici, ce qui m'est pas clair c'est que les recouvrement de ce sous-ensemble ne seront fait qu'avec E et l'ensemble vide vu qu'on est en topologie grossière.
Tout à fait, et tout recouvrement ouvert du sous-ensemble contient donc un sous-recouvrement fini : le sous-ensemble est quasi-compact.
Reste à savoir s'il est séparé pour conclure à la compacité...
13/01/2008, 22h15
#6
invite769a1844
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Re : topologie
Envoyé par God's Breath
Tout à fait, et tout recouvrement ouvert du sous-ensemble contient donc un sous-recouvrement fini : le sous-ensemble est quasi-compact.
Reste à savoir s'il est séparé pour conclure à la compacité...
oui mais alors là si on appelle A cet ensemble, je ne vois pas comment il peut être séparé, il me semble que vu que le seul ouvert non vide de E est E, alors le seul ouvert non vide de A est A, non?
13/01/2008, 22h25
#7
God's Breath
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Re : topologie
Envoyé par rhomuald
oui mais alors là si on appelle A cet ensemble, je ne vois pas comment il peut être séparé, il me semble que vu que le seul ouvert non vide de E est E, alors le seul ouvert non vide de A est A, non?
Encore une fois, tu as parfaitement raison, les ouverts de sont les avec ouvert de , ce qui ne laisse pas beaucoup de possibilités.
Ton sous-ensemble non réduit à un point n'est pas séparé, et ne peut donc pas être compact.
Par contre un sous-ensemble réduit à un point est séparé, et est par suite compact ; c'est pourquoi ton premier énoncé ne m'avait pas surpris.
13/01/2008, 22h28
#8
invite769a1844
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Re : topologie
Envoyé par God's Breath
Encore une fois, tu as parfaitement raison, les ouverts de sont les avec ouvert de , ce qui ne laisse pas beaucoup de possibilités.
Ton sous-ensemble non réduit à un point n'est pas séparé, et ne peut donc pas être compact.
Par contre un sous-ensemble réduit à un point est séparé, et est par suite compact ; c'est pourquoi ton premier énoncé ne m'avait pas surpris.
oui désolé, je viens de vérifier, c'était bien le premier énoncé qui était bon
ça m'aurait étonné qu'il y ait une bourde dans le Choquet aussi, je crois que je vais aller me reposer