Topologie

[invite769a1844]

Bonsoir,

on considère un ensemble E muni de la topologie grossière qui comprend plus d'un point, comment montrer que tout sous-ensemble de E réduit à un point est un sous-espace compact?

Merci pour votre aide.
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

on considère un ensemble E muni de la topologie grossière qui comprend plus d'un point, comment montrer que tout sous-ensemble de E réduit à un point est un sous-espace compact?

Merci pour votre aide.

Quelle est la topologie d'un sous-ensemble de E réduit à un point ? Comment obtenir un recouvrement ouvert ?

[invite769a1844]

Quelle est la topologie d'un sous-ensemble de E réduit à un point ? Comment obtenir un recouvrement ouvert ?

pardon, c'est une erreur de ma part, c'est plutôt

tout sous-ensemble de E non réduit à un point est un sous-espace compact

[invite769a1844]

pardon, c'est une erreur de ma part, c'est plutôt

tout sous-ensemble de E non réduit à un point est un sous-espace compact

mais ici, ce qui m'est pas clair c'est que les recouvrement de ce sous-ensemble ne seront fait qu'avec E et l'ensemble vide vu qu'on est en topologie grossière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

mais ici, ce qui m'est pas clair c'est que les recouvrement de ce sous-ensemble ne seront fait qu'avec E et l'ensemble vide vu qu'on est en topologie grossière.

Tout à fait, et tout recouvrement ouvert du sous-ensemble contient donc un sous-recouvrement fini : le sous-ensemble est quasi-compact.

Reste à savoir s'il est séparé pour conclure à la compacité...

[invite769a1844]

Tout à fait, et tout recouvrement ouvert du sous-ensemble contient donc un sous-recouvrement fini : le sous-ensemble est quasi-compact.

Reste à savoir s'il est séparé pour conclure à la compacité...

oui mais alors là si on appelle A cet ensemble, je ne vois pas comment il peut être séparé, il me semble que vu que le seul ouvert non vide de E est E, alors le seul ouvert non vide de A est A, non?

[invite57a1e779]

oui mais alors là si on appelle A cet ensemble, je ne vois pas comment il peut être séparé, il me semble que vu que le seul ouvert non vide de E est E, alors le seul ouvert non vide de A est A, non?

Encore une fois, tu as parfaitement raison, les ouverts de sont les avec ouvert de , ce qui ne laisse pas beaucoup de possibilités.

Ton sous-ensemble non réduit à un point n'est pas séparé, et ne peut donc pas être compact.

Par contre un sous-ensemble réduit à un point est séparé, et est par suite compact ; c'est pourquoi ton premier énoncé ne m'avait pas surpris.

[invite769a1844]

Encore une fois, tu as parfaitement raison, les ouverts de sont les avec ouvert de , ce qui ne laisse pas beaucoup de possibilités.

Ton sous-ensemble non réduit à un point n'est pas séparé, et ne peut donc pas être compact.

Par contre un sous-ensemble réduit à un point est séparé, et est par suite compact ; c'est pourquoi ton premier énoncé ne m'avait pas surpris.

oui désolé, je viens de vérifier, c'était bien le premier énoncé qui était bon

ça m'aurait étonné qu'il y ait une bourde dans le Choquet aussi, je crois que je vais aller me reposer

merci God's Breath.