Compacité & homéomorphisme

[invite769a1844]

Bonjour, je ne vois pas comment montrer cette proposition:

Soient un espace compact et un espace métrique.
Soit continue, bijective, alors est un homéomorphisme.

Elle est donnée dans le cours en tant que corollaire du théorème qui dit que "l'image par une application continue d'un compact est un compact".

Merci pour vos indications.
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[invite57a1e779]

Bonjour, je ne vois pas comment montrer cette proposition:

Soient un espace compact et un espace métrique.
Soit continue, bijective, alors est un homéomorphisme.

Elle est donnée dans le cours en tant que corollaire du théorème qui dit que "l'image par une application continue d'un compact est un compact".

Merci pour vos indications.

Vu les propriétés que tu as sur , il manque juste la continuité de pour conclure.
Quels sont les divers moyens qui s'offrent à toi pour prouver cette continuité ?

[invite769a1844]

Vu les propriétés que tu as sur , il manque juste la continuité de pour conclure.
Quels sont les divers moyens qui s'offrent à toi pour prouver cette continuité ?

je pensais à la caractérisation de la continuité par les fermés vu qu'on parle de compacts.

Je ne sais pas si ça marche:

on prend un fermé F de X, donc F est aussi compact.

On a alors qui est compact étant donné le théorème précédent et donc fermé vu qu'on est dans un espace métrique (donc séparé). C'est bien ça?

[invite57a1e779]

je pensais à la caractérisation de la continuité par les fermés vu qu'on parle de compacts.

Je ne sais pas si ça marche:

on prend un fermé F de X, donc F est aussi compact.

On a alors qui est compact étant donné le théorème précédent et donc fermé vu qu'on est dans un espace métrique (donc séparé). C'est bien ça?

Effectivement, ce n'est pas plus compliqué.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Effectivement, ce n'est pas plus compliqué.

ah d'accord, merci God's Breath.