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Compacité de famille de fonctions



  1. #1
    Quinto

    Compacité de famille de fonctions


    ------

    Bonjour,
    ma question est simple, peut on montrer qu'une famille de fonctions de n variables est relativement compacte en faisant une étude simple d'une fonction à n+1 variables?

    Je m'explique dans le cas d'une fonction réelle:
    Je pose
    f:[0,1]xR -> R
    (t,x)->f(t,x)

    Si on montre que f est uniformément continue sur [0,1]xR alors on peut montrer assez facilement, (à moins que je me sois trompé dans ma démonstration) que la famille F={f_t: x->f(t,x), t€[0,1]} est une famille uniformément uniformément continue.

    Notamment si on a que x est à valeur dans un compact K on obtient que si
    f:[0,1]xK -> R
    (t,x)->f(t,x)
    est continue, alors f est uniformément continue (produit de compacts donc compact + théorème de Heine).
    Notamment puisque f est uniformément continue, on utilise le résultat précédent que je cite.
    Par le théorème d'Arzelà-Ascoli, F est compacte (là je doute un peu...)

    Récapitulons:
    Soit K un compact de R, K' un compact de [0,1] et f une fonction de [0,1]xK dans R continue, alors F={f_t: x->f(t,x), t€K} est compacte dans C(K).

    Exemple:
    f: [0,1]x[0,1/2] -> R
    (t,x)->x^t
    est continue sauf en 0.
    Soit a>0, alors l'ensemble F[a]={f_t: x->f(t,x) t€[a,1]} est un compact de C(K).

    Ces résultats sont ils vrais?
    Si oui, sont ils souvent utilisés?
    Je m'interroge car la propriété d'uniforme uniforme continuité et le théorème d'Arzelà-Ascoli figurent dans mon cours, mais on ne s'en est jamais servi et on en a juste parlé "pour le fun"...

    Si vous avez des idées...
    Amicalement,
    Quinto

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    martini_bird

    Re : Compacité de famille de fonctions

    Salut,

    j'ai plus de questions que de réponses mais bon...

    Citation Envoyé par Quinto
    Si on montre que f est uniformément continue sur [0,1]xR alors on peut montrer assez facilement, (à moins que je me sois trompé dans ma démonstration) que la famille F={f_t: x->f(t,x), t€[0,1]} est une famille uniformément uniformément continue.
    Les ft sont uniformément continues, donc



    Pour utilise le théorème d'Ascoli, il faut que la famille F soit uniformément équicontinue



    Autrement dit le est le même pour tous les ft: tu as bien fait attention à ça? (c'est juste une question)

    Sinon dans les hypothèses du théorème d'Ascoli, il faut de plus que la famille F soit bornée dans C(K) (avec K métrique compact). Il me semble que tu as omis cette hypothèse.

    Enfin, la conclusion c'est F relativement compact, non?

    Sinon, il me semble que le théorème d'Ascoli (comme tous les théorèmes donnant des critères de compacités) est utile en analyse fonctionnelle pour démontrer l'existence de solutions (d'EDP entre autre).

    Cordialement.

  4. #3
    Quinto

    Re : Compacité de famille de fonctions

    Salut,
    Citation Envoyé par martini_bird
    Les ft sont uniformément continues, donc



    Pour utilise le théorème d'Ascoli, il faut que la famille F soit uniformément équicontinue



    Autrement dit le est le même pour tous les ft: tu as bien fait attention à ça? (c'est juste une question)
    Salut,
    oui j'y ai bien fait attention, notamment j'ai réussi à trouver après avoir posté, qu'en effet l'uniforme continuité découle bien de cette hypothèse, donc ma démonstration semble correcte.

    Sinon dans les hypothèses du théorème d'Ascoli, il faut de plus que la famille F soit bornée dans C(K) (avec K métrique compact). Il me semble que tu as omis cette hypothèse.
    En effet, j'ai omis cette hypothèse, même le fait que notre fonction soit continue sur un compact ne suffit pas, et je m'en suis rendu compte, il faudrait ajouter cette hypothèse (dans mon exemple c'est cependant le cas)

    Enfin, la conclusion c'est F relativement compact, non?
    Oui, je l'ai omis dans mon développement.


    Sinon, il me semble que le théorème d'Ascoli (comme tous les théorèmes donnant des critères de compacités) est utile en analyse fonctionnelle pour démontrer l'existence de solutions (d'EDP entre autre).
    J'ai lu ca, mais je n'ai jamais vu d'applications
    Amicalement,
    Quinto

  5. #4
    Stephen

    Re : Compacité de famille de fonctions

    Le Théorème d'Ascoli est très important en calcul des variations : si tu as une famille uniformément équicontinue et ponctuellement bornée, elle est relativement compacte : de toute suite tu peux extraire une sous-suite qui converge dans l'adhérence, et souvent tes familles sont fermées donc tu peux extraire une sous-suite convergente.

    Ensuite, si tu as de la continuité tu peux appliquer un raisonnement typique : je veux prouver qu'il existe un minimum pour une fonctionnelle, je prends une suite de fonction minimisante, éventuellement je la restreint proprement pour faire du Arzela Ascoli, j'emploie l'éventuelle continuité de ma fonctionnelle (ou semi-continuité inférieure) et j'ai mon minimum.

    Exemple typique : dans un espace métrique propre (les fermés bornés sont compacts), entre deux points il existe toujours un chemin minimal. C'est du Arzela Ascoli (localement c'est compact - il suffit de prendre une boule assez grande, et on peut démontrer que la longueur des chemins est semi-continue inférieurement).

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Quinto

    Re : Compacité de famille de fonctions

    Salut,
    Citation Envoyé par Stephen
    Exemple typique : dans un espace métrique propre (les fermés bornés sont compacts), entre deux points il existe toujours un chemin minimal. C'est du Arzela Ascoli (localement c'est compact - il suffit de prendre une boule assez grande, et on peut démontrer que la longueur des chemins est semi-continue inférieurement).
    eh c'est beau ca
    Merci à vous deux pour vos explications, visiblement Arzelà-Ascoli est plus utile en analyse fonctionnelle qu'en topo, je ne pensais pas qu'il avait autant d'importance. J'avais entendu parler d'application en dynamique complexe (grace à Julia notamment) mais je ne me rappelle plus du sujet...

  8. #6
    Stephen

    Re : Compacité de famille de fonctions

    Citation Envoyé par Quinto
    Salut,

    eh c'est beau ca
    Oui, c'est une démarche typique de calcul des variations

    Ca se généralise : tu montres le résultat suivant (j'appelle H la mesure de Hausdorff de dimension 1) : si X est un espace métrique propre, et que si S est discret dans X, et qu'il existe C compact et connexe avec C U S compact et connexe et H(C) fini, il existe un compact connexe C de mesure minimale tel que C U S est compact et connexe.

    Ca se montre de la même manière (sans Arzela Ascoli mais un résultat de compacité équivalent pour la distance de Hausdorff, la continuité étant due au théorème de Golab - cf. Ambrosio & Tilli, Topics on Analysis in Metric Spaces, la preuve de Golab est fausse mais elle se corrige facilement).

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  10. #7
    Harkhih

    Re : Compacité de famille de fonctions

    Citation Envoyé par Quinto
    Salut,

    eh c'est beau ca
    Merci à vous deux pour vos explications, visiblement Arzelà-Ascoli est plus utile en analyse fonctionnelle qu'en topo
    Analyse fonctionnelle et topologie sont intimement liées.

    Comme autres conséquences, tu as de l' analyse complexe : tu peux caractériser les parties relativements compactes de l' espace des fonctions holomorphes sur un ouvert du plan complexe moyennant les suites exhaustives de compacts et une métrique bien choisie (théorème des familles normales de Montel) : ce sont les parties localement bornées.

    Toujours en analyse complexe, mais le lien avec Ascoli est un peu plus ténu, tu peux obtenir une représentation des fonctions harmoniques sur le disque unité ouvert du plan complexe à l' aide de la transformée de Poisson de fonctions de classe Lp (p>1) ou de mesures de Borel.

    Autre exemple, en équa. diff., le théorème d' Ascoli donne l' existence (mais pas l' unicité) de solutions pour un problème de Cauchy où tu as seulement l' hypothèse de continuité.

    J' en oublie, évidemment.

    ++
    Dernière modification par Harkhih ; 06/07/2005 à 19h44.

  11. #8
    Quinto

    Re : Compacité de famille de fonctions

    Bonjour et bien venu Harkhih.
    Merci à vous pour vos explications, je débute en analyse fonctionnelle, alors c'est pas évident à suivre. Je cherchais effectivement ce théorème des familles normales de Montel.
    C'est "trop d'la balle" la topo

  12. #9
    Quinto

    Re : Compacité de famille de fonctions

    Celà étant j'aimerai reveni à la question de base:
    "Est ce que mon résultat sert à quelque chose?"
    Existe t'il des procédés classiques pour montrer qu'une famille est uniformément équicontinue (ie uniformément uniformément continue)?

  13. #10
    Harkhih

    Re : Compacité de famille de fonctions

    Citation Envoyé par Quinto
    Je cherchais effectivement ce théorème des familles normales de Montel.
    Je connais peu de références, mais je sais qu' il est assez bien fait dans le Zuily-Queffelec.

    Citation Envoyé par Quinto
    Existe t'il des procédés classiques pour montrer qu'une famille est uniformément équicontinue (ie uniformément uniformément continue)?
    Là comme ça, ça ne me dit rien. Toutefois, je crois me souvenir d' un cas particulièrement favorable (limite trivial en fait) de familles de fonctions uniformément équicontinues : les fonctions (k-µ)-höldériennes.

    ++

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