sous espaces propres orthogonaux

[invite3e1953b5]

Bonjour à tous !

J'ai juste une petite question toute simple : dans quelles conditions les sous espaces propres d'un endomorphisme sont-ils orthogonaux entre eux ??
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[Quinto]

Bonjour,
je pense que je ne me trompe pas en disant que c'est vrai si l'endomorphisme est autoadjoint. Mais c'est à vérifier.
A+

[Gwyddon]

Tout juste, bien vu Quinto

[invite56acd1ad]

En effet, d'après le théorème spectral, un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une base orthonormale de vecteurs propres, ie. les sous-espaces propres sont 2 à 2 orthogonaux (de plus les valeurs propres sont réelles).
C'est donc le cas pour un endomorphisme symétrique réel en particulier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3e1953b5]

Merci beaucoup !

[Gwyddon]

Même mieux : c'est le cas pour les endomorphismes normaux (ie qui commutent avec leur adjoint). C'est un résultat un peu plus fort que le résultat sur les matrices symétriques (resp hermitiennes sur C).

[invite51f4efbf]

Bonjour,
je pense que je ne me trompe pas en disant que c'est vrai si l'endomorphisme est autoadjoint. Mais c'est à vérifier.
A+

Oui, c'est l'un des contenus du théorème spectral. Ca reste vrai si l'endomorphisme commute avec son adjoint. Je ne connais pas de condition nécessaire (mais ça doit se trouver à la main sur une matrice, du genre que la partie de la matrice qui correspond aux quotients scindés du polynôme caractéristique soit diagonale par blocs).

Edit : grillé, ça devient une habitude