Bonjour à tous
Je repose une question qui n'avait pas suscité un grand engouement il y a peu :
Les sous-espaces propres d'un endomorphisme sont-ils orthogonaux entre eux ? Et la somme des dimensions de ce espaces est-elle égale à la dimension de l'espace ?
Si quelqu'un avait les preuves ce serait génial... Merci !
Salut,
La réponse aux deux questions est non... Contre-exemples:Les endomorphismes qui vérifient ces propriétés sont spéciaux (endomorphismes orthogonaux dans le 1er cas, diagonalisables dans le 2e cas)
- dans R², l'application (x,y)->(3x, 2y+x) a pour sous-espaces propres Vect((0,1)) et Vect((1,1))...
- L'endomorphisme de R² dont la matrice est [1,1;0,1] a pour unique sous-espace propre Vect((1,0)) qui est de dimension 1
La réponse est oui et non, (super!)
Et dans un 2e temps je sors encore le pipotreon:
"ca dépend du produit scalaire"
et pan!
Sinon c'est toujours le cas pour un endomorphisme autoadjoint (symétrique)
démonstration:
soient l1 et l2 2valeurs propres distinctes de u (u autoadjoint) et x1 et x2 2vecteurs non nuls des espaces propres associés à l1 et l2 respectivements.
l1<x1,x2>=<u(x1),x2> (par bilinéarité)
=<x1,u(x2)> (car u est autadjoint)
=l2<x1,x2> (par bilinéarité)
et donc l1<x1,x2>=l2<x1,x2> et comme l1 et l2 sont différents alors <x1,x2>=0 et donc x1 et x2 sont orthogonaux et donc El1 et El2 sont orthogonaux...
