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sous-espaces propres



  1. #1
    pepinou

    sous-espaces propres


    ------

    Bonjour à tous

    Je repose une question qui n'avait pas suscité un grand engouement il y a peu :
    Les sous-espaces propres d'un endomorphisme sont-ils orthogonaux entre eux ? Et la somme des dimensions de ce espaces est-elle égale à la dimension de l'espace ?

    Si quelqu'un avait les preuves ce serait génial... Merci !

    -----

  2. #2
    Coincoin

    Re : sous-espaces propres

    Salut,
    La réponse aux deux questions est non... Contre-exemples:
    • dans R², l'application (x,y)->(3x, 2y+x) a pour sous-espaces propres Vect((0,1)) et Vect((1,1))...
    • L'endomorphisme de R² dont la matrice est [1,1;0,1] a pour unique sous-espace propre Vect((1,0)) qui est de dimension 1
    Les endomorphismes qui vérifient ces propriétés sont spéciaux (endomorphismes orthogonaux dans le 1er cas, diagonalisables dans le 2e cas)
    Encore une victoire de Canard !

  3. #3
    Quinto

    Re : sous-espaces propres

    La réponse est oui et non, (super!)
    Et dans un 2e temps je sors encore le pipotreon:
    "ca dépend du produit scalaire"

    et pan!


    Sinon c'est toujours le cas pour un endomorphisme autoadjoint (symétrique)

    démonstration:
    soient l1 et l2 2valeurs propres distinctes de u (u autoadjoint) et x1 et x2 2vecteurs non nuls des espaces propres associés à l1 et l2 respectivements.

    l1<x1,x2>=<u(x1),x2> (par bilinéarité)
    =<x1,u(x2)> (car u est autadjoint)
    =l2<x1,x2> (par bilinéarité)

    et donc l1<x1,x2>=l2<x1,x2> et comme l1 et l2 sont différents alors <x1,x2>=0 et donc x1 et x2 sont orthogonaux et donc El1 et El2 sont orthogonaux...

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