liberté d'une famille de trois fonctions

[invitee620a25a]

Bonjour,
je suis perplexe devant cet exercice :
dans l'espace vectoriel des fonctions R dans R, montrer que la famille (sin,cos,exp) est libre.
Je peux poser :
asinx + bcosx + cexpx = 0
mais comment prouver que a,b,c sont nuls. (j'ai tenté l'étude de fonction, ça n'a rien donné)
merci d'avance
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[invitec314d025]

Tu as essayé de prendre des valeurs particulières de x ?

[GrisBleu]

deja fais tendre x a l infini, la valeur de c devient evidente ? puis avec des valeurs particulieres de x ca va pas etre tres dur

[erik]

Met l'expression asinx+bcosx sous la forme Rsin(x+alpha) en supposant a et b différents de zéro.
(R=sqrt(a²+b²), alpha=arctg(b/a) )
Tu devrais pouvoir conclure.

Erik

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Met l'expression asinx+bcosx sous la forme Rsin(x+alpha) en supposant a et b différents de zéro.
(R=sqrt(a²+b²), alpha=arctg(b/a) )
Tu devrais pouvoir conclure.

Erik

Je pense que c'est inutilement compliqué.
Prendre x = 0, pi/2, pi suffit (ou même mieux en utilisant la limite en +infini comme proposé par wlad).

[invite56acd1ad]

on peut aussi dériver... ca donne de nouvelles relations...
Par exemple, on peut du coup remplacer l'exponentielle par une somme de cosinus et de sinus... et ces deux fonctions forment une famille libre...

(On pourrait peut-être aussi exprimer cos et sin sous forme complexe ...)

[erik]

Prendre x = 0, pi/2, pi suffit

Oui effectivement c'est le plus simple.