liberté d'une famille de trois fonctions
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liberté d'une famille de trois fonctions



  1. #1
    invitee620a25a

    Unhappy liberté d'une famille de trois fonctions


    ------

    Bonjour,
    je suis perplexe devant cet exercice :
    dans l'espace vectoriel des fonctions R dans R, montrer que la famille (sin,cos,exp) est libre.
    Je peux poser :
    asinx + bcosx + cexpx = 0
    mais comment prouver que a,b,c sont nuls. (j'ai tenté l'étude de fonction, ça n'a rien donné)
    merci d'avance

    -----

  2. #2
    matthias

    Re : liberté d'une famille de trois fonctions

    Tu as essayé de prendre des valeurs particulières de x ?

  3. #3
    GrisBleu

    Re : liberté d'une famille de trois fonctions

    deja fais tendre x a l infini, la valeur de c devient evidente ? puis avec des valeurs particulieres de x ca va pas etre tres dur

  4. #4
    erik

    Re : liberté d'une famille de trois fonctions

    Met l'expression asinx+bcosx sous la forme Rsin(x+alpha) en supposant a et b différents de zéro.
    (R=sqrt(a²+b²), alpha=arctg(b/a) )
    Tu devrais pouvoir conclure.

    Erik
    Dernière modification par erik ; 25/04/2005 à 12h35.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    matthias

    Re : liberté d'une famille de trois fonctions

    Citation Envoyé par erik
    Met l'expression asinx+bcosx sous la forme Rsin(x+alpha) en supposant a et b différents de zéro.
    (R=sqrt(a²+b²), alpha=arctg(b/a) )
    Tu devrais pouvoir conclure.

    Erik
    Je pense que c'est inutilement compliqué.
    Prendre x = 0, pi/2, pi suffit (ou même mieux en utilisant la limite en +infini comme proposé par wlad).

  7. #6
    invite56acd1ad

    Re : liberté d'une famille de trois fonctions

    on peut aussi dériver... ca donne de nouvelles relations...
    Par exemple, on peut du coup remplacer l'exponentielle par une somme de cosinus et de sinus... et ces deux fonctions forment une famille libre...

    (On pourrait peut-être aussi exprimer cos et sin sous forme complexe ...)

  8. #7
    erik

    Re : liberté d'une famille de trois fonctions

    Prendre x = 0, pi/2, pi suffit
    Oui effectivement c'est le plus simple.

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