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pb sur ln ete xp



  1. #1
    hammer313

    pb sur ln ete xp


    ------

    Bonjour jai un dm sur le log et expo mais certaines questions me posent problemes
    On considere la fonction definie par g sur ]-1; +[smb]infini[/smb][ par g(t)=1/(1+t) - ln(1+t)
    3a) démontrer que la fonction est strictement décroissante sur
    ]0;+[smb]infini[/smb][.
    ca c'est fait
    b) en déduire le signe de g(t) lorsque t>0
    la je en vois pas!


    4a) calculer f'(x) sachant que f(x)=e(-x)ln(1+e(x)), et exprimer en fonction de g(e(x))
    alors f'(x)= -e(-x)*ln(1+e(x)) + e(-x)*( e(x)/(1+e(x) )
    mais je n'arrive pas a simplifier.

    aidez moi svp

    -----

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  3. #2
    Topov

    Re : pb sur ln ete xp

    Citation Envoyé par hammer313
    3a) démontrer que la fonction est strictement décroissante sur
    ]0;+[smb]infini[/smb][.
    ca c'est fait
    b) en déduire le signe de g(t) lorsque t>0
    la je en vois pas!
    Tu as

    et


    Si ta fonction est bien strictement décroissante sur cet intervalle, ce que je n'ai pas vérifé, cela signifie qu'elle prend toutes les valeurs de lorsque x décrit R+*
    Combien de fois g(x) change-t-il de signe ? Faire un dessin très simples à main levée te donnerait la réponse.
    Il existe une valeur particulière de x (à ne pas déterminer numériquement), telle que g(x)=0 donc....

    alors f'(x)= -e(-x)*ln(1+e(x)) + e(-x)*( e(x)/(1+e(x) )
    mais je n'arrive pas a simplifier.
    Tu as arrêté sur le plus facile il me semble
    f'(x)= -e(-x)*ln(1+e(x)) + e(-x)*( e(x)/(1+e(x) )
    =e(-x)*[ ( 1/(1+e(x) ) - ln(1+e(x))]
    =e(-x)*g(e(x))

    Pour la suite :
    Sachant que tu as déjà étudié g(x), tu ne devrais pas éprouver de grosses difficultés à étudier f'.
    En particulier, le signe de g est déduit de la question précédente. En multipliant pas e(-x), on ne change pas grand chose... On a donc très facilement le signe de f'(x) puis les variations de f.

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