compacité de SU(N)

[invite6f044255]

Salut à tous.

Je suis en train de me prendre la tête à essayer de démontrer que SU(N) est compact (sachant que je suis étudiant en physique ).

Puisque je suis en dimension finie (je fais de la physique quoi...), je peux juste montrer qu'il est fermé et borné.
J'ai réussi à démontrer la "bornitude", mais pour la caractère fermé j'ai vraiment du mal.

J'ai essayé plusieurs méthodes, mais sans succès:
-essayer de trouver une application continue et inversible de SU(N) dans un fermé.
-montrer qu'une suite Un d'éléments de SU(N) converge dans SU(N).

Mais je n'y arrive pas.

Une piste, siouplait?
-----

[matthias]

C'est bien ça ?

En ce cas si tu prend:

et

Ces deux fonctions sont continues, donc ça doit marcher, non ?

[GuYem]

Bien vu Matthias.

U(n) est en effet l'image réciproque dans GLn du fermé {Id} par f qui est continue.
SU(n) est l'image réciproque dans U(n) du fermé {1} par g qui est continue aussi.

[invite6f044255]

Merci.

J'avais pensé à cette approche, mais la preuve rigoureuse de la continuité de

ne me semble pas du tout triviale (ou alors j'ai oublié quelque chose....hmm, je sens que je vais encore ma faire tirer les oreilles moi)

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Par composition de fonctions continues: transposée, conjugué, produit
Tu peux repasser composante par composante si tu veux tout redémontrer au propre, c'est juste un peu lourd à faire.

[invite6f044255]

Hmm, en effet, j'avais vraiment un gros doute sur la continuité de toutes ces applications (transposé et tout....)

OK, parfait, merci beaucoup tous les 2.

[Quinto]

J'ai essayé plusieurs méthodes, mais sans succès:
-essayer de trouver une application continue et inversible de SU(N) dans un fermé.

Oui, attention c'est faux.
Ce que tu veux peut être faire c'est soit effectivement faire ce que tu dis, mais dans ce cas, tu ajoutes également que l'inverse est continue.
Soit tu voulais prendre une fonction continue telle que SU(N) soit l'image réciproque d'un fermé par ta fonction.
Mais dans ce cas, ton application n'a pas besoin d'arriver dans un fermé, et n'a pas à être inversible.

[Quinto]

Par composition de fonctions continues: transposée, conjugué, produit
Tu peux repasser composante par composante si tu veux tout redémontrer au propre, c'est juste un peu lourd à faire.

Je pense qu'à ce niveau d'études, et principalement en physique, il a du étudier un peu d'analyse fonctionnelle.
Auquel cas la continuité devient triviale, les applications passage à la transposée et passage au conjugué sont bornée (et sont même isométrique je dirais)
Plus la peine de se prendre la tête sur les composantes etc

[matthias]

Auquel cas la continuité devient triviale, les applications passage à la transposée et passage au conjugué sont bornée (et sont même isométrique je dirais)
Plus la peine de se prendre la tête sur les composantes etc

Bah oui, mais il avait un doute, ça arrive ...
Je sais bien qu'on peut faire plus simple, mais je trouve que revenir aux composantes de temps en temps est un bon moyen de "visualiser" la continuité (enfin dans les cas vraiment très simples et si on ne refait pas la démo en entier, c'est un peu lourd).
Mais bon, c'est vrai qu'une isométrie, en même temps, on fait difficilement plus simple pour démontrer la continuité
Mettons que je n'ai rien dit

[Quinto]

Bah oui, mais il avait un doute, ça arrive ...

Non non, je ne critique pas, je disais que je pense qu'il est en mesure de faire autrement s'il a envie de faire la preuve.
Pour ma part, moins je fais de calculs, plus je suis content...
A+

[invite6f044255]

Ok, je résume.

Y'a une méthode beaucoup plus simple que ce que je fais. Mais je vois vraiment pas laquelle!! Vous feriez comment vous?

Sinon, pour revenir à ma méthode:

Ce que tu veux peut être faire c'est soit effectivement faire ce que tu dis, mais dans ce cas, tu ajoutes également que l'inverse est continue.
Soit tu voulais prendre une fonction continue telle que SU(N) soit l'image réciproque d'un fermé par ta fonction.
Mais dans ce cas, ton application n'a pas besoin d'arriver dans un fermé, et n'a pas à être inversible.

Donc, je trouve une application continue f telle que avec V fermé.

Ici, j'ai juste à dire que:
-U(N) est l'image réciproque de {1} par l'application continue
-SU(N) est l'image réciproque de U(N) par l'application continue "det"

et le tour est joué.


PS: je suis désolé, j'ai un peu de mal, mais j'ai fait une année en Angleterre qui m'a fait prendre du retard au niveau maths....