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compacité de SU(N)



  1. #1
    ixi

    compacité de SU(N)


    ------

    Salut à tous.

    Je suis en train de me prendre la tête à essayer de démontrer que SU(N) est compact (sachant que je suis étudiant en physique ).

    Puisque je suis en dimension finie (je fais de la physique quoi...), je peux juste montrer qu'il est fermé et borné.
    J'ai réussi à démontrer la "bornitude", mais pour la caractère fermé j'ai vraiment du mal.

    J'ai essayé plusieurs méthodes, mais sans succès:
    -essayer de trouver une application continue et inversible de SU(N) dans un fermé.
    -montrer qu'une suite Un d'éléments de SU(N) converge dans SU(N).

    Mais je n'y arrive pas.

    Une piste, siouplait?

    -----
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)

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  3. #2
    matthias

    Re : compacité de SU(N)


    C'est bien ça ?

    En ce cas si tu prend:

    et

    Ces deux fonctions sont continues, donc ça doit marcher, non ?

  4. #3
    GuYem

    Re : compacité de SU(N)

    Bien vu Matthias.

    U(n) est en effet l'image réciproque dans GLn du fermé {Id} par f qui est continue.
    SU(n) est l'image réciproque dans U(n) du fermé {1} par g qui est continue aussi.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #4
    ixi

    Re : compacité de SU(N)

    Merci.

    J'avais pensé à cette approche, mais la preuve rigoureuse de la continuité de

    ne me semble pas du tout triviale (ou alors j'ai oublié quelque chose....hmm, je sens que je vais encore ma faire tirer les oreilles moi)
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    matthias

    Re : compacité de SU(N)

    Par composition de fonctions continues: transposée, conjugué, produit
    Tu peux repasser composante par composante si tu veux tout redémontrer au propre, c'est juste un peu lourd à faire.

  8. #6
    ixi

    Re : compacité de SU(N)

    Hmm, en effet, j'avais vraiment un gros doute sur la continuité de toutes ces applications (transposé et tout....)

    OK, parfait, merci beaucoup tous les 2.
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)

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  10. #7
    Quinto

    Re : compacité de SU(N)

    Citation Envoyé par ixi
    J'ai essayé plusieurs méthodes, mais sans succès:
    -essayer de trouver une application continue et inversible de SU(N) dans un fermé.
    Oui, attention c'est faux.
    Ce que tu veux peut être faire c'est soit effectivement faire ce que tu dis, mais dans ce cas, tu ajoutes également que l'inverse est continue.
    Soit tu voulais prendre une fonction continue telle que SU(N) soit l'image réciproque d'un fermé par ta fonction.
    Mais dans ce cas, ton application n'a pas besoin d'arriver dans un fermé, et n'a pas à être inversible.

  11. #8
    Quinto

    Re : compacité de SU(N)

    Citation Envoyé par matthias
    Par composition de fonctions continues: transposée, conjugué, produit
    Tu peux repasser composante par composante si tu veux tout redémontrer au propre, c'est juste un peu lourd à faire.
    Je pense qu'à ce niveau d'études, et principalement en physique, il a du étudier un peu d'analyse fonctionnelle.
    Auquel cas la continuité devient triviale, les applications passage à la transposée et passage au conjugué sont bornée (et sont même isométrique je dirais)
    Plus la peine de se prendre la tête sur les composantes etc

  12. #9
    matthias

    Re : compacité de SU(N)

    Citation Envoyé par Quinto
    Auquel cas la continuité devient triviale, les applications passage à la transposée et passage au conjugué sont bornée (et sont même isométrique je dirais)
    Plus la peine de se prendre la tête sur les composantes etc
    Bah oui, mais il avait un doute, ça arrive ...
    Je sais bien qu'on peut faire plus simple, mais je trouve que revenir aux composantes de temps en temps est un bon moyen de "visualiser" la continuité (enfin dans les cas vraiment très simples et si on ne refait pas la démo en entier, c'est un peu lourd).
    Mais bon, c'est vrai qu'une isométrie, en même temps, on fait difficilement plus simple pour démontrer la continuité
    Mettons que je n'ai rien dit

  13. #10
    Quinto

    Re : compacité de SU(N)

    Citation Envoyé par matthias
    Bah oui, mais il avait un doute, ça arrive ...
    Non non, je ne critique pas, je disais que je pense qu'il est en mesure de faire autrement s'il a envie de faire la preuve.
    Pour ma part, moins je fais de calculs, plus je suis content...
    A+

  14. #11
    ixi

    Re : compacité de SU(N)

    Ok, je résume.

    Y'a une méthode beaucoup plus simple que ce que je fais. Mais je vois vraiment pas laquelle!! Vous feriez comment vous?

    Sinon, pour revenir à ma méthode:
    Citation Envoyé par Quinto
    Ce que tu veux peut être faire c'est soit effectivement faire ce que tu dis, mais dans ce cas, tu ajoutes également que l'inverse est continue.
    Soit tu voulais prendre une fonction continue telle que SU(N) soit l'image réciproque d'un fermé par ta fonction.
    Mais dans ce cas, ton application n'a pas besoin d'arriver dans un fermé, et n'a pas à être inversible.
    Donc, je trouve une application continue f telle que avec V fermé.

    Ici, j'ai juste à dire que:
    -U(N) est l'image réciproque de {1} par l'application continue
    -SU(N) est l'image réciproque de U(N) par l'application continue "det"

    et le tour est joué.


    PS: je suis désolé, j'ai un peu de mal, mais j'ai fait une année en Angleterre qui m'a fait prendre du retard au niveau maths....
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)

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