Topologie

[invite1762dbc2]

Bonjour

Voici une petite vidéo intéressante car elle permet de mieux comprendre pourquoi la bouteille de klein est aussi un ruban de moébius et n'a donc objet qui n'a qu'une seule surface et un seul coté (surface unilatère).
(cf aussi caractéristique d'Euler-Poincaré).

http://www.youtube.com/watch?v=E8rif...elated&search=
une vrai bouteille en verre (très très difficile à faire)
la même en 3D autodesk http://www.youtube.com/watch?v=Pf66H...elated&search=

il est possible aussi de poursuivre avec les tores qui ont des propriétés du même ordre.
http://www.youtube.com/watch?v=nLcr-...elated&search=
http://www.youtube.com/watch?v=0H5_h...elated&search=


Pour la bande moebius cette vidéo http://www.youtube.com/watch?v=DSz1xvQ-0R8 démontre que cet objet n'a qu'une face et un seul coté, même si on le découpe en son centre. Dans la dernière partie de cette vidéo on voit comment faire une chaîne sans colle.

QUESTION : est-il possible de faire des noeuds boroméens par la même méthode. A vos ciseaux et tricostérils

PS :
A noter que la topologie a été beaucoup travaillée par jacques Lacan mais incomprise par presque tous. Dommage car très intéressant avec le ruban de moébius et les noeuds boroméen qui déboucheront sur la toplogie des noeuds rares.


Cordialement
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[polo974]

Pour la bande moebius ... démontre que cet objet n'a qu'une face et un seul coté, même si on le découpe en son centre.

Autant l'anneau de Moebius n'a qu'une face et un bord, autant le même coupé en son milieu donne un ruban avec 2 dem-tours à suivre et donc dispose de 2 faces et 2 bords.
Ce n'est plus un anneau de Moebius, juste un "simple" ruban vrillé d'un tour complet, la preuve, si on le recoupe en 2, on obtient 2 anneaux et non un autre 2 fois plus long...

[invité576543]

Voici une petite vidéo intéressante car elle permet de mieux comprendre pourquoi la bouteille de klein est aussi un ruban de moébius et n'a donc objet qui n'a qu'une seule surface et un seul coté (surface unilatère).

Euh... La bouteille de Klein n'est pas un ruban de möbius. Elle contient un ruban de möbius.

Ensuite, toutes les surfaces connexes ont une seule surface, même un ruban de möbius ou une bouteille de Klein. La surface du volume de papier d'un ruban recollé après un demi-tour n'est pas un ruban de möbius, et est orientée (c'est un tore). La confusion est courante entre la surface du volume de papier, et la surface abstraite.

La bouteille de Klein comme le ruban de möbius sont des surfaces non orientées. On peut dire unilatères, mais ça ne veut pas dire un seul côté, mais dire qu'on ne peut pas définir continument sur la surface la distinction entre la gauche et la droite, ou plus précisément un sens de rotation direct.

La bouteille de Klein n'a pas de bord, le ruban de Möbius a un bord, ce qui en fait des surfaces distinctes.

Cordialement,

[invite1762dbc2]

Bonjour polo 974

D'accord avec ta remarque je me suis mal exprimé.

J'aurais du écrire ce que tu met dans ta première phrase, car justement l'intéret est de voir pourquoi l'objet change ainsi.
D'ou l'allusion à J.Lacan.

Mais si l'on regarde bien la vidéo dans l'expérimentation N° 3 ; si tu continue à découper tu obtient effectivement "un ruban avec 2 demi-tours à suivre et donc dispose de 2 faces et 2 bords" mais le deuxième maillon reste bel et bien un ruban de moébius. C'est ce qui m'a intéressé dans cette démo et que je ne connaissais pas.

Encore merci

Cordialement
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Se tromper est pardonnable tant que la gomme ne s'use pas plus vite que le crayon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1762dbc2]

Euh... La bouteille de Klein n'est pas un ruban de möbius. Elle contient un ruban de möbius.

Entierement d'accord avec toi, il en va de même pour les surfaces de boy si j'ai bien compris


Pour la suite, sache que je ne suis pas scientifique donc si tu veux bien me répondre essaie de faire simple (mind) STP

La surface du volume de papier d'un ruban recollé après un demi-tour n'est pas un ruban de möbius, et est orientée (c'est un tore). La confusion est courante entre la surface du volume de papier, et la surface abstraite

Pourrais tu m'expliquer STP pour quoi le ruban recollé n'est pas , etc....

Remarque : On utilise le papier et la colle parce que ça va vite pour expliquer la propriété du ruban de moébius. J'ai réalisé il y a quelques année un ruban de moébius en stéréolithographie et dans ce cas il n'y a aucune coupure ni raccord.

La bouteille de Klein comme le ruban de möbius sont des surfaces non orientées.

mais ça ne veut pas dire un seul côté, mais dire qu'on ne peut pas définir continument sur la surface la distinction entre la gauche et la droite, ou plus précisément un sens de rotation direct.

Peux-tu m'expliquer STP pourquoi tu fait la différence entre le fait que l'on ne peut pas définir la distinction entre droite et gauche : et de ce fait que l'on ne puisse pas dire qu'il a une seul coté. Puisque lorsque l'on a un ruban en 3D dans la main on peut colorier l'unique coté.
Dis autrement est-ce qu'une non affirmation est plus scientifique ou il y a-t-il une autre raison ou explication.

La bouteille de Klein comme le ruban de möbius sont des surfaces non orientées.

La bouteille de Klein n'a pas de bord, le ruban de Möbius a un bord, ce qui en fait des surfaces distinctes.

Peut- tu expliquer "surface non orientée" STP.

"Bouteille et ruban sont des surfaces distintes" entièrement d'accord avec Toi.
Ce que j'ai trouvé intéressant c'est que l'un contient l'autre, ce qui ne saute pas forcément aux yeux du commun des mortels (surtout non matheux et non scientifique).

Merci pour toutes tes remarques enrichissantes.

Cordialement
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« Celui qui aime apprendre est proche du savoir. » - CONFUCIUS

[invité576543]

Pour la suite, sache que je ne suis pas scientifique donc si tu veux bien me répondre essaie de faire simple (mind) STP

Je peux essayer...

Pourrais tu m'expliquer STP pour quoi le ruban recollé n'est pas , etc....

Partons d'un simple cylindre. Un ruban recollé sans torsion. Il n'a qu'une seule surface, au sens du mot surface que l'on utilise quand on discute de la topologie d'un ruban de Möbius. Une surface à ce sens est quelque chose qui a une épaisseur nulle, ou mieux pour laquelle la notion d'épaisseur n'a pas de sens. Cette notion d'épaisseur est une troisième dimension, qui vient de ce qu'on parle d'un objet réel (ruban) dans notre monde qui est en trois dimensions.

Il faut donc arriver à imaginer le cylindre comme étant une seule surface, un machin sans épaisseur (ce qui n'est pas le cas pour l'objet réel en papier, c'est donc une idée abstraite). Si je montre ou dessine un point de mon cylindre de papier, le côté que je montre n'a aucune importance. C'est le même point de la surface que je le montre "par l'intérieur" ou "par l'extérieur", que je le dessine d'un côté ou de l'autre. Autrement dit, c'est comme si on exigeait que, si on regarde par transparence, les deux "côtés" doivent être dessinés identiquement. C'est le pas conceptuel le plus difficile à attraper, mais une fois fait, le reste en découle.

En effet, il est alors clair que la même chose s'applique au ruban de Möbius en papier. Le cylindre de papier comme le ruban de Möbius de papier doivent être vus comme une seule surface. La différence entre les deux n'est pas là.

Peut- tu expliquer "surface non orientée" STP.

La différence est l'orientation. Dessinons un angle AOB sur le papier (du cylindre d'un côté, du Möbius de l'autre), un point O, et deux segments en partant. Prenons un angle aigu. Si on a compris qu'il n'y a pas de côté, on réalise qu'il n'y a pas moyen de définir si l'angle AOB est direct ou indirect (si A est à droite ou à gauche de B vu de O). Cela dépend du côté par lequel on regarde. Ce qu'on peut faire c'est dire arbitrairement que celui qu'on a dessiné est direct. Cela s'appelle "orienter l'angle".

Cette convention d'orientation est valable pour l'angle, et pour son voisinage immédiat. Je peux dessiner juste à côté un angle pareil, de même orientation.

Essayons de faire cela tout le long de la surface. Par relation de proximité, l'orientation est sensée être la même. Dans le cas du cylindre, pas de problème: quand j'ai fait tout le tour, l'angle dessiné arrivant à proximité de l'angle initial a bien la même orientation. Ainsi sur le cylindre on peut définir une notion d'angle direct valable sur toute la surface.

Avec le möbius, que se passe-t-il? au bout d'un tour, l'angle dessiné se trouve "derrière" l'angle original. Oui, mais on a dit que cela n'avait pas de sens, et que dessiner d'un côté ou de l'autre ne doit pas être distingué. L'angle qui est dessiné "derrière" est le même que celui que je dessine "devant" et coïncidant par transparence. Et là, on réalise qu'il a l'orientation inverse de l'angle d'origine. Par conséquence, il n'est pas possible de définir une notion d'angle direct valable sur toute la surface. On ne peut la définir que localement. On dit que la surface n'est pas orientée, on ne peut pas définir l'orientation des angles, ou la gauche de la droite, de manière continue, sur toute la surface.

Pour essayer de donner une autre image, si notre espace n'était pas orienté, on pourrait se trouver dans une situation suivante. Dans un pays donné, les gens ne voyagent jamais plus loin que ce pays. Il y a, dans leur vocabulaire, des droitiers et des gauchers. Un jour, pour la première fois, un droitier fait le tour de la Terre, et il revient. Lui se dit droitier, il a toujours utilisé la même main pour écrire, il écrit avec la même main qu'il utilisait avant de partir. Pourtant tous les habitants du pays lui disent qu'il est gaucher, et tous ceux qu'il considère droitier se disent gaucher et réciproquement. Dans un tel espace non orienté, la notion de gaucher/droitier n'est pas universelle, elle ne peut être définie que localement, et s'inverse pour certaines trajectoires.

On va ainsi distinguer les surfaces orientées (plan, cylindre, sphère, tore) des surfaces non orientées (möbius, bonnet croisé, bouteille de Klein, ...), non pas par la notion de "face" (qui ne s'applique pas comme cela), mais par la possibilité ou non de définir ce qu'est un angle direct continument sur toute la surface, la possibilité de distinguer universellement des figures "gauches" et "droites".

En espérant que ça aide,

Cordialement,

[polo974]

Bonjour polo 974
...
Mais si l'on regarde bien la vidéo dans l'expérimentation N° 3 ; si tu continue à découper tu obtient effectivement "un ruban avec 2 demi-tours à suivre et donc dispose de 2 faces et 2 bords" mais le deuxième maillon reste bel et bien un ruban de moébius. C'est ce qui m'a intéressé dans cette démo et que je ne connaissais pas.

Encore merci

Cordialement

La N° 3 est en fait le cas général de la N° 2: on retire une certaine largeur sur le bord de l'anneau (et dans la 2, cette largeur vaut la moitié de celle de l'anneau initial), et comme ce bord est 2 fois plus long que l'anneau, le ruban retiré l'est aussi, re-et re-comme ce bord fait 2 fois le tour de l'anneau, il contient un tour complet.

L'usage de ciseaux à cranter pour la découpe permet de faire simplement la différence entre le bord initial et celui nouvellement créé.

La bouteille de Klein est à l'anneau de Moebius, ce que le tore est à un anneau simple, si je ne me trompe.

Tient, au fait, quelques trucs drôles sur l'anneau de Moebius:

• Une droite non parallèle au bord le coupe 2 fois
• Une "droite" parallèle au bord se retrouve à une certaine distance d'elle même

Et là, le truc qui me chagrine:
En longeant le bord, pour retomber au même endroit, il faut faire 2 fois le tour.
Mais au milieu, il suffit d'un seul tour, sauf qu'on se retrouve "de l'autre coté".

[invité576543]

La bouteille de Klein est à l'anneau de Moebius, ce que le tore est à un anneau simple, si je ne me trompe.

Pas exactement. Un anneau simple (cylindre) a deux bords, et le tore est obtenu en mettant un bord sur l'autre.

Comme le möbius n'a qu'un bord, on ne peut pas faire la même manipulation.

La bouteille de Klein s'obtient à partir de l'anneau simple (cylindre) en mettant bord sur bord, mais "dans l'autre sens". Si on numérote des points équidistants sur chaque bord 0 1 2 3 4, le tore s'obtient en "cousant" 0 sur 0, 1 sur 1, etc. et la bk en cousant 0 sur 0, 1 sur 4, 2 sur 3, 3 sur 2 et 4 sur 1.

Et là, le truc qui me chagrine:
En longeant le bord, pour retomber au même endroit, il faut faire 2 fois le tour.
Mais au milieu, il suffit d'un seul tour, sauf qu'on se retrouve "de l'autre coté".

Pourquoi cela chagrine-t-il? Cela montre que, contrairement au cylindre droit, les "cercles "équatoriaux" n'ont pas tous la même longueur... Le "cercle central" est deux fois plus court que le bord. Cela est le cas aussi d'un cylindre auque l on donne une taille de guêpe au centre, par exemple.

Cordialement,

[polo974]

Pourquoi cela chagrine-t-il? Cela montre que, contrairement au cylindre droit, les "cercles "équatoriaux" n'ont pas tous la même longueur... Le "cercle central" est deux fois plus court que le bord. Cela est le cas aussi d'un cylindre auque l on donne une taille de guêpe au centre, par exemple.

Cordialement,

sauf que sur un cylindre avec taille de guêpe, on est toujours du même coté et qu'on passe de façon continue d'une longueur à l'autre alors qu'avec l'anneau de Moebius...

[invite1762dbc2]

Bonjour mmy

d'abord merci pour ta réponse et l'effort pour que je puisse comprendre.

Bon le premier point j'ai à peu près compris car sur mon logiciel de CA0-DAO il ya des surfaces virtuelles appellées "plan de construction".

Bon pour le deuxième point je vais chercher des cachets d'aspirine et une poche à glace pour la tête et je reviens te raconter.

Cordialement

PS : je suppose que tu connaîs le livre : Flatland: A Romance of Many Dimensions de Edwind Abbott Abbott

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Les peuples, comme les métaux n'ont rien de brillant que les surfaces. Rivarol

[invité576543]

PS : je suppose que tu connaîs le livre : Flatland: A Romance of Many Dimensions de Edwind Abbott Abbott

Oui... Et c'est une bonne base aussi pour discuter de gauchers et de droitiers sur une surface orientée ou non.

Cordialement,

[invité576543]

sauf que sur un cylindre avec taille de guêpe, on est toujours du même coté et qu'on passe de façon continue d'une longueur à l'autre alors qu'avec l'anneau de Moebius...

Je ne comprend pas (déjà comme j'essayais de l'expliquer, il n'y a pas de "toujours du même côté").

Dans les deux cas on passe de façon continue d'une longueur à l'autre. La différence est que sur le cylindre, on part d'un bord, ça se réduit continument puis ça augmente toujours continument et on finit sur l'autre bord. Alors que sur Möbius, ça se réduit continument puis ça augmente toujours continument et on finit sur le même bord (mais sur le point à 180° du poinr de départ). La variation continue de longueur est identique.

Cordialement,

[invite1762dbc2]

Bonjour mmy

je ne connais les surfaces de Boy mais pas "bonnet croisé".
N'aurais-tu pas une image ou un lien à m'indiquer.
Merci

Cordialement

[polo974]

Je ne comprend pas (déjà comme j'essayais de l'expliquer, il n'y a pas de "toujours du même côté").

Dans les deux cas on passe de façon continue d'une longueur à l'autre. La différence est que sur le cylindre, on part d'un bord, ça se réduit continument puis ça augmente toujours continument et on finit sur l'autre bord. Alors que sur Möbius, ça se réduit continument puis ça augmente toujours continument et on finit sur le même bord (mais sur le point à 180° du poinr de départ). La variation continue de longueur est identique.

Cordialement,

Quand je parlais de "toujours du même côté", c'était dans le sens normale à la surface (des restes de synthèse d'image...), ce qui découle en fait de l'orientation même de la surface comme tu l'as décrit.

Si on coupe un anneau de Moebius // au bord à une distance autre que la moitié de la largeur, la longueur de coupe correspond à la longueur du bord.
Si on coupe l'anneau en suivant le milieu exact du ruban, la longueur de coupe est moitié de la longueur du bord, et on se retrouve orienté dans l'autre sens.
C'est de cette discontinuité dont je parlais (de longueur de coupe et d'inversion d'orientation).

Suis-je au même point de l'anneau, mais "tête en bas" ou suis-je ailleurs sur l'anneau mais physiquement (la découpe) au même endroit?

En gros:
Comment définit-on la position d'un point sur un anneau de moebius?
Y a-t'il une information d'orientation supplémentaire pour chaque point?

Maintenant, comme je ne connais pas l'exacte définition de l'anneau... je mélange peut-être la représentation et l'objet mathématique.

C'est rigolo quand on essaye d'y réfléchir à ces surfaces qui mélangent page et feuille ("normalement" une feuille, c'est 2 pages, mais là???)...

[invite986312212]

En gros:
Comment définit-on la position d'un point sur un anneau de moebius?

je pense qu'on peut donner un sens à l'expression "être d'un côté ou de l'autre de la surface" pour un ruban de Moebius. Considère un point du ruban et une petite sphère centrée en ce point. Le ruban sépare la sphère en deux parties qui sont proches de demi-sphères (il faut que la sphère soit assez petite pour ne pas couper le ruban plusieurs fois: hum! je me demande si cette phrase a un sens!). Si tu imagines une fourmi arpentant la surface, elle sera dans l'une ou l'autre des demi-sphères, demi-sphère qui se déplace avec la fourmi. Ce qui se passe avec le ruban de Moebius, c'est que pour certains parcours fermés de la fourmi, quand elle repasse en un point déjà visité, elle peut se trouver dans l'autre demi-sphère, chose qui ne peut pas arriver sur un cylindre par exemple.

il y a des difficultés mathématiques à formaliser cette image: par exemple avec une surface compliquée, il se pourrait que le diamètre d'une sphère coupée proprement par la surface tende vers zéro quand on se rapproche de certains points. J'imagine que c'est le cas avec ces surfaces à cornes entremêlées (?)

[invité576543]

je pense qu'on peut donner un sens à l'expression "être d'un côté ou de l'autre de la surface" pour un ruban de Moebius. Considère un point du ruban et une petite sphère centrée en ce point.

La notion de sphère est une notion 3D. La difficulté conceptuelle est la distinction entre la notion de surface par elle-même, et entre surface plongée dans un espace 3D orienté.

En tant que surface abstraite, un ruban de möbius peut "exister" aussi bien en tant que surface non plongée, que de surface plongée en 3D orienté ou non, ou en 4D orienté ou non, etc.

La notion de côté de la surface est parfaitement claire dans le cas surface plongée dans un espace 3D orienté, mais pas dans les autres cas!

Alors que la notion de variété orientée est indépendante du plongement.

Il faut décider de quoi on parle réellement, si c'est de la surface en elle-même, ou de la surface plongée dans l'espace euclidien 3D dont nous avons l'habitude. Le second est bien plus restrictif que le premier, mais à l'avantage d'être proche de l'expérience directe.

Histoire de montrer en quoi l'approche plongée est limitée, suffit de penser à la variété 3D dans laquelle nous vivons. Vu comme plongée en 4D, on pourrait parler d'un côté ou de l'autre de la variété. C'est conceptuellement extrêmement difficile, alors que l'orientation d'un trièdre est une notion claire.

(Note: en espace-temps Minkowskien il y a bien une notion de côté ou de l'autre, sous la forme par exemple de passé/futur. Mais visualiser ce que voudrait dire "arpenter un côté" n'est pas facile...)

Cordialement,

[invité576543]

A la question comme se repérer sur un möbius, il me semble que le support intuitif le plus simple est de voir un pavage d'une bande sur un plan eudiclien.

Prenons une telle bande, avec comme coordonnées le système orthogonal usuel du plan euclidien, contraint par |y|<1.

Une surface de möbius est mathématiquement obtenue en considérant les classes de points de la bande par la relation d'équivalence

(x,y) = (x', y') si (|y|=|y'| non nul et (x-x') + (y-1)/2y' entier ) ou (y=y'=0 et x-x' entier)

Cela montre immédiatement la discontinuité dont parle polo.

Il me semble qu'il y a une autre approche pour les coordonnées en voyant le ruban de möbius comme le plan projectif (bonnet croisé) avec un trou. A voir.

Cordialement,

[invité576543]

je ne connais les surfaces de Boy mais pas "bonnet croisé".

Suffit de chercher "bonnet croisé" sur Google.

Par exemple : http://www.mathcurve.com/surfaces/bo...etcroise.shtml

C'est la surface sans bord obtenue en cousant un disque et un möbius en les cousant l'un à l'autre le long du bord (il n'en n'ont qu'un chacun!).

Cordialement,

[invite986312212]

La notion de côté de la surface est parfaitement claire dans le cas surface plongée dans un espace 3D orienté, mais pas dans les autres cas!

Alors que la notion de variété orientée est indépendante du plongement.

tu as raison mais on est dans la rubrique "science ludique" alors on peut en rester à des concepts simples. (bon d'accord, j'essaie de me récupérer comme je peux )


sur ces question, je recommande vivement la lecture du livre d'Anatoly Fomenko: "visual geometry and topology" où il aborde non seulement la classification des surfaces, mais aussi celle des variétés de dimension 3, qui est beaucoup plus mystérieuse (pour moi du moins)

[invite986312212]

une vrai bouteille en verre (très très difficile à faire)

j'ai celle-ci sur un coin de mon bureau. Elle a été fabriquée par un verrier qui travaille dans un labo de chimie, un métier en voie de disparition d'ailleurs, vu que la chimie utilise de plus en plus du matériel standardisé.