Une intégrale par la méthode des résidus

[Bleyblue]

Bonjour,

Je cherche à calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :



C étant une courbe homotope au cercle |z| = 2 dans \{0}

On a donc :

si f désigne l'intégrande

Mais je ne vois pas comment calculer ce résidus en fait. J'ai bien essayé de développer 1/(e^z - 1) en série de Laurent en 0 mais je ne vois aps trop comment faire, si ce n'est en partant du développement en série de Taylor de l'exponentielle mais ça ne m'avance pas des masses ...

merci
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[invite57a1e779]

Deux problèmes : ton calcul d'intégrale par le théorème des résidus est exact sur le cercle puisque le la fonction à intégrer a pour seul pôle l'origine dans le disque .

Mais il y a d'autres pôles aux points (), et pour un chemin homotope au cercle précédent dans seulement, tu peux te retrouver avec un chemn qui englobe plusieurs pôles...

Enfin tu devrais savoir que, pour avec et holomorphes, zéro simple de et , on a ...

[invite6f25a1fe]

Sinon, pour le pole 0, on voit simplement que c'est un pole d'orde 1 car on a z/(exp(z)-1)=z/(1+z+z²/2-1+o(z²))=1/(1+1+z/2+o(z)) donc qui tend vers 1 (on a bien un pole d'ordre 1)
On a donc une formule pour la calculer qui est tout simplement lim(z.f(z))=1
Tu peux effectivement passé par la série de Laurent, le résidu est alors le terme en 1/(z-a) avec "a" le pole, donc ici 0
On a donc :
, le coefficient devant le terme en 1/Z est bien 1

[Bleyblue]

Deux problèmes : ton calcul d'intégrale par le théorème des résidus est exact sur le cercle puisque le la fonction à intégrer a pour seul pôle l'origine dans le disque .

Mais il y a d'autres pôles aux points (), et pour un chemin homotope au cercle précédent dans seulement, tu peux te retrouver avec un chemn qui englobe plusieurs pôles...

Enfin tu devrais savoir que, pour avec et holomorphes, zéro simple de et , on a ...

Oui je n'avais pas fait gaffe, mais à la base c'est sur |z| = 2 que j'intègre

Sinon je ne connais pas la formule et d'autre part qu'est ce qu'un zéro simple ?

Pour ton calcul scorp je ne vois pas bien comment tu montres qu'en zéro on a un pôle d'ordre 1 ni comment tu développes la fonction en série de Laurent.

Désolé

merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Sinon je ne connais pas la formule et d'autre part qu'est ce qu'un zéro simple ?

Pour ton calcul scorp je ne vois pas bien comment tu montres qu'en zéro on a un pôle d'ordre 1 ni comment tu développes la fonction en série de Laurent.

Un zéro simple, c'est un zéro tel que avec , si tu préfères, le développement en série entière de au voisinage de est de la forme avec .

Dans ton cas avec analytique dans tout le plan, et , donc est analytique au voisinage de l'origine et admet un développement en série entière avec .

De là tu déduis que et tu as le développement en série de Laurent, avec le résidu .

Le truc de Scorp, c'est que, comme il sait qu'il travaille sur des fonctions analytiques, il n'écrit pas toute la série entière, mais seulement les premiers termes, sous forme de développement limité, puisqu'il sait qu'il n'aura besoin que du premier coefficient...

Dans le cas général que j'évoquais, tu as la même chose :
, et l'on peut assurer a priori que est analytique au voisinage de du fait que .

Comme dans ton exemple, tu développes et tu en déduis le développement de Laurent de en divisant par , d'où le résidu en .

Reste à calculer . Comme , on en déduit et finalement , d'où le résultat.

[Bleyblue]

ok !
merci beaucoup pour cette explication détaillée

[Bleyblue]

Je reviens à la charge

Si j'essaye de faire pareil avec :



et sin(z) ne s'annulant qu'en 0 dans le domaine délimité par C je n'ai que ce point à considérer donc :



le quotient multipliant 1/z étant quotient de fonctions analytiques dont le dénominateur est non nul en 0 elle est aussi analytique en 0 de coefficient a0 = 1 ce qui livre que le résidu de la fonction en 0 vaut à nouveau 1

non ?

merci

[Bleyblue]

Et de même pour :

singularité en zéro :



donc la résidu (et l'intégrale) vaut 0

merci