Bonsoir,
je bloque sur un exo, quelqu'un peut il m'aider?
Soient E et F deux espaces vectorielssur R et f une application linéaire de E vers F.
la famille (vecteur i, vecteur j) est une base de E et la famille (f(vecteur i) , f(vecteur j) est une famille libre de F.
Montrer que f est injective
Salut
L'idée : On se fixe x et y dans E tels que f(x)=f(y). On veut montrer que x=y.
L'énoncé donne une base de E. La première idée est donc d'exprimer les éléments de E dans cette base.
On écrit x=ai+bj et y=a'i+b'j.
L'égalité f(x)=f(y) se traduit par af(i)+bf(j)=a'f(i)+b'f(j) (par linéarité de f)
Ce qui donne encore : (a-a')f(i)+(b-b')f(j)=0
Mais (f(i),f(j)) est libre !
Conclusion...
On peut aussi reagrder quels sont les éléments du noyau de f, c'est encore plus rapide.
Oui ericcc, au final cela revient au même
merci pour votre aide, mais je ne comprends pas pourquoi au début il faut poser f(x)=f(y) et donc montrer que x=y
Qu'est-ce qu'une application injective pour toi?
ah oui, injective si f(u)=f(u') donc u=u'
Voila
Comme le signal Ericcc, on pourrait utiliser une caractérisation de l'injectivité pour les applications linéaires pour résoudre l'exercice. Tu as dû voir qu'une application linéaire est injective si et ssi son noyau est réduit à {0}. Mais les preuves sont quasiment les même.
non je rebloque, à la fin avec la famille libre je conclue donc que f(x)=f(y)=0 mais en quoi cela m'aide pour montrer que ker f = 0 ...
je crois que je l'embrouille...
Si l'on travaille avec le noyau, plus besoin de partir de f(x)=f(y).
On considère juste x de E tel que f(x)=0 (ie x dans Ker(f)).
x=ai+bj
On a donc af(i)+bf(j)=0
Mais (f(i),f(j)) libre donc a=b=0, finalement x est nul.
Par conséquent, Ker(f)={0} ce qui prouve que f est injective (tu remarques donc que la preuve est quasiment la même)
d'accord mais si je reprends avec ta démo, lorsque f(x)=f(y)=0 je conclue en disant seulement que x=y ? f(x)=f(y)=0 => x=y ??
Je ne comprends pas ce que tu fais...
en fait je repars de la méthode que vous m'avez donné au début :
L'idée : On se fixe x et y dans E tels que f(x)=f(y). On veut montrer que x=y.
L'énoncé donne une base de E. La première idée est donc d'exprimer les éléments de E dans cette base.
On écrit x=ai+bj et y=a'i+b'j.
L'égalité f(x)=f(y) se traduit par af(i)+bf(j)=a'f(i)+b'f(j) (par linéarité de f)
Ce qui donne encore : (a-a')f(i)+(b-b')f(j)=0
Mais (f(i),f(j)) est libre
de cela j'en tire que f(i)=f(j) = 0 donc que f(x)=f(y) = 0 mais cela ne me permet pas de dire x=y non?
Non ! La liberté de (f(i),f(j)) implique que a-a'=0 et b-b'= 0 !
alors qu'est ce qui me permet de passer de f(x)=f(y)=0 à x=y ?
Rien ! On en a pas besoin !
On a montré que a=a' et b=b' mais x=ai+bj et y=a'i+b'j donc x=y.
ah oui! ok merci beaucoup alors!
Je t'en prie
