bonsoir,
en regardant un autre forum je suis tombé sur la question suivante:
montrer que e n'est pas racine d'un polynôme rationnel (non nul) du second degré?
dans la solution on prend un polynôme
on pose f(x)=aexp(x)+cexp(-x) puis on applique taylor-lagrange à l'ordre n
mais pourquoi obtient on le développement suivant:
avec tn dans ]0,1[
je suis d'accord pour le terme avec tn mais pas pour l'autre, où est la dérivée de f?
merci de votre aide
Bonsoir,
La formule de Taylor-Lagrange est appliquée entre 0 et 1.
On a bien
d'accord merci
mais pourquoi a-t-on effectué ceci pour commencer
C'est une grosse astuce.
On veut je pense montrer ensuite par l'absurde que
En multipliant par les dénominateurs on arrive à :
On arrive donc à
On multiplie par
Mais d'autre part comme
C'est bien ce que je pensais. On reprend la démonstration de l’irrationalité de e que l'on modifie légèrement.
De façon analogue on peut montrer que si
merci à vous deux pour votre aide
en reprenant vos explications:
j'aimerai savoir pourquoi la somme de f(1) va jusqu'à n-1 alors que ca aurait dû être n et comment faites vous pour savoir queest entier?
Faire la somme de 0 à n ou 0 à n-1 ne change pas la démonstration. Si tu préfères on peut faire de 0 à n. En revanche il y a une petite erreur dans la démonstration de MMu.
Posons B =
Alors pour tout
En effet par hypothèse (absurde),
D'autre par
Le membre de gauche est une somme finie d'entiers. Donc celui de droite est bien un entier pourvu que
C'est un n+1 au dénominateur du membre de droite.
comment faites vous pour savoir queque la somme (terme de gauche) est entière puisqu'elle dépend de A et C qui eux sont rationnels?
En fait il n'y avait pas d'erreur dans la démonstration de MMu. Un réel est racine d'un polynôme à coefficient rationnel si et seulement s'il est racine d'un polynôme à coefficient entier. Il suffit de multiplier l'équation par le ppcm des dénominateurs des coefficients. MMu a bien précisé qu'il prenait donc A, B, C trois entiers. On a bien alors pour tout entier n, n! f(1) qui est un entier.
Dernière modification par Tiky ; 01/08/2011 à 20h32.
