Prise de tête sur des suites

[invite2d21c3ef]

Bonsoir,
Voilà ça fait quelques jours que je suis bloquée sur mon DM de maths et j'aurais bien besoin de votre aide
C'est une suite itérée : a chaque suite (an) de nombres réels positifs , on associe une autre suite (Un) définie pas
∀n ∈ N, un =√(a0+√(a1+√a2+.......+√an ))) les racines s'imbriques les unes dans les autres
La question est de montrer que dans chacun des cas la suite associée (Un) converge

• an=n
• an=n!
• an=n^n

Dans les questions précédentes on a montré que Un était croissante et que si an<a'n alors Un<U'n
Merci beaucou^p
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[inviteea028771]

Je regarderai la suite qui majore toute tes suites et pour laquelle s'exprime simplement en fonction de



Et il est assez facile de montrer que est donnée par et , qui converge (car la fonction est croissante, donc monotone)

[invite2d21c3ef]

Bonjour,
Donc je vais commencer par montrer par recurrences que 2^2^n est supérieure a an dans les 3 cas et ensuite je montre que vn est convergente?
Mercii beaucoup

[Seirios]

Remarque qu'il suffit de montrer que à partir d'un certain rang, ce qui permet d'utiliser des résultats asymptotiques et de simplifier ainsi le problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2d21c3ef]

Désolée mais je comprends pas résultats asymptotiques ?!

[Seirios]

Je veux juste dire que pour montrer que à partir d'un certain rang, alors il suffit de montrer que .

[invite2d21c3ef]

Ahh d'accord merci!
Donc je montre ça à partir du rang n=2 et comme ça j'aurais Vn>Un et comme Vn converge donc Un converge aussi ?

[Seirios]

Un certain nombre d'indications t'a été donné, maintenant, c'est à toi de travailler ! Essaie de faire un raisonnement cohérent, et puis dis nous comment cela se passe.

[invite2d21c3ef]

J'ai beau y passer l'après midi mais je n'arrive vrmt pas à montrer que n^n<2^2^n et ça me stresse ...
je suis désolée de vous embêter

[inviteea028771]

Passe au logarithme n*ln(n) < n² < 2^n ln(2)