Amusement du jour ...

[invite1f4ba402]

Bonjour,

Voici, pour se réchauffer les neurones un petit problème sympa:

quel est le minimum de l'expression |36ⁿ-5^m| avec n et m entiers non nuls ?
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[invitea3eb043e]

Comme ça, sans pudeur, je dirais que si 36^n est voisin de 5^m, alors :
n log(36) voisin de m log(5) donc
m/n voisin de log(36)/log(5) = 2.226
A vue de nez, je dirais m/n = 2,22 = 20/9
Donc m=20 et n=9

[invitec314d025]

Moi je dirais que le minimum est 11.

[invitea3eb043e]

Effectivement, parce qu'on prend la différence et non le quotient, il vaut mieux ne pas aller dans les grands nombres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite636fa06b]

Moi je dirais que le minimum est 11.

D'accord
Après avoir calculé les réduites de log(36)/log(5) par fractions continues jusqu'à une vingtaine de termes, je n'ai rien trouvé d'autre.

[invite6de5f0ac]

Comme ça, sans pudeur, je dirais que si 36^n est voisin de 5^m, alors :
n log(36) voisin de m log(5) donc
m/n voisin de log(36)/log(5) = 2.226
A vue de nez, je dirais m/n = 2,22 = 20/9
Donc m=20 et n=9

Salut,

Sans pudeur, comme tu dis...

J'ai eu aussi cette idée, c-à-d trouver le développement en fraction continue de log(36)/log(5). Mais le problème n'est pas de trouver m et n (encore que), mais de donner le minimum... Intuitivement, je penserais à 1, en me disant qu'il y a bien des exposants m et n assez grands pour avoir une approximation correcte de log(36)/log(5), mais de là à en jurer...

L'intuition repose sur le fait que 5 et 36 sont premiers entre eux, et qu'on peut espérer s'appuyer sur une question de densité. Mais comme ça, au feeling, sans bouquin sous la main...

Je m'y r'attelle!

-- françois

[invite1f4ba402]

Etant donné qu'on travaille sur des entiers, peut-être est-il intéressant d'étudier les congruences ...

[invitec314d025]

avec
(pas besoin d'aller plus loin puisque 36 - 25 = 11)
k ne peut pas être multiple de 2, 3 ou 5
De plus :

donc k congru à 1 modulo 5.
Il ne reste que 1 et 11.
Mais si k=1, donc il faudrait que 6ⁿ+1 soit divisible par 5 ce qui n'est pas le cas.

[invite1f4ba402]

Oui, je suis arrivé au même résultat un peu différemment:

36ⁿ est congru à 6 modulo 10
5^m est congru à 5 modulo 10

donc 36ⁿ-5^m est congru à 1 modulo 10 (donc de la forme 10k+1).

11 est une valeur évidente. Les seuls valeurs inférieures (en valeur absolue) sont 1 et -9.

Or, -9 ne convient pas 9 divise 36 mais pas 5^m,

et 1 ne convient pas car
36ⁿ-5^m est congru à 3 modulo 4