Problème sur les EV
Bonjour,
J'ai un exo dont voici l'enoncé:
Si f appartient à L(E,F) (qui est l'ensemble des applications de E dans F), alors montrer que l'image d'un sous espace vectoriel de E est un sous espace vectoriel de F.
De plus monter que si f appartient à L(E,F), alors l'image réciproque d'un sous espace vectoriel de F est un sous espace vectoriel de E.
Merci à tous.
Salut.
Je pense que tu veux plutôt dire "L(E,F) est l'ensemble des applications linéaires de E dans F".
Il faut donc considérer un sous-espace F de E, et f dans L(E,F).
Tu prends alors x,y dans f(F) et p,q dans K (le corps de base). Que peux tu dire sur x et y? Et sur px+qy?
(et pour le noyau, c'est le même raisonnement)
Nico
Re : Problème sur les EV
Oui, excuse-moi je pensais que je l'avais écri. Je te remercie pour ton aide, j'ai compris. Bonne soirée
J'aurais une autre question; on sait que la definition d'une application linéaire injective est qu'elle est injective ssi son noyau est nul. Mais saurait tu pourquoi on peut dire cela?Je n'arrive vraiment pa à le demontrer...
Merci d'avance
noyau réduit à l'élément nul ce sera plus juste que "noyau nul".Envoyé par rému
Normalement tu devrais avoir la démonstration dans ton cours, c'est quand même une base de l'algèbre linéaire.
Ca ne présente d'ailleurs aucune difficulté:
- Si f injective
Soit x dans Ker(f). Alors f(x) = 0, donc f(x) = f(0), donc x=0 par injectivité. On a donc Ker(f) = {0}.
- Si Ker(f) = {0}
Soient x et y tels que f(x) = f(y).
On a f(x-y) = 0, donc x-y dans Ker(f), donc x-y=0, d'où x=y. f est donc injective.
L'injectivité d'une application en général "dit" que les seuls cas où f(x)=f(y) sont les cas où x=y.
Quant on a affaire avec des e.v., ceci peut se réécrire en faisant apparaître le vecteur nul dans un des membres.
De plus quand f est linéaire, on peut encore faire une simplification.
Après ces réécritures, le résultat devient facile.
EDIT : grillé par matthias
Merci tous les deux Je viens en plus de la retrouver dans mon cours!!
