Bonsoir à tous
Je cherche quels sont les triangles ABC dont les sommets,les pieds des hauteurs,l'orthocentre,et le centre du cercle circonscrit ont des coordonnées entières (dans un repère orthonormal).
A(-2,3),B(7,0),C(2,-5) est une solution ,je les voudrais toutes!
Merci infiniment pour votre aide.
Une idée de pîste: On peut imposer, en utilisant la liberté en translation, comme centre du cercle circonscrit le point (0,0). La solution proposée est alors (-4, 3), (5, 0) et (0, -5). Le carré du rayon du cercle est alors la somme de deux carrés, ce qui peut être exploité.
Ici il se trouve que c'est 25, soit un entier carré: peut-être est-ce une propriété générale (auquel cas les triplets de pythagore vont intervenir). Douteux, mais qui sait?
Si on prend (a, b, c) tels que a²+b²=c², et les points (a, b), (c, 0) et (0, -c), le pied de la hauteur venant de (a,b) a des coordonnées entières si a+b+c est pair (sf erreur de ma part). (Pour le cas proposé, c'est (2, -3)). Pas regardé les deux autres ni l'orthocentre, mais cela donne peut-être une série de solutions à partir des triplets pythagoriciens ou de certains d'entre eux....
Dernière modification par Amanuensis ; 07/01/2015 à 21h11.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Merci beaucoup pour ces" tuyaux" . Bien cordialement .
Une réflexion, peut-être erronée, mais à vérifier.
Il me semble que si les coordonnées des sommets sont rationnelles, alors les coordonnées des pieds des hauteurs et de l'orthocentre sont aussi rationnelles. (1)
Si ce lemme est correct, alors l'ensemble des solutions se construit simplement en prenant un entier R somme de deux carrés (le carré du rayon du cercle circonscrit), puis choisir les trois sommets parmi les solutions entières de a²+b²=R (il y en a au moins 4), puis calculer les coordonnées des pieds des hauteurs et de l'orthocentre, et enfin multiplier tout par le ppcm des dénominateurs de façon à ce que toutes les coordonnées soient entières.
Je n'ai pas essayé de faire un cas complet, c'est juste une idée.
(1) Idée de démo: soit ABC le triangle dont les sommets sont de coordonnées rationnelles, il existe v un vecteur (x,y) // BC de coordonnées rationnelles ; w=(-y, x) est perpendiculaire à v ; le pied de la hauteur est obtenu en résolvant pour a et b A+aw = B+bv, ce qui donne deux équations linéaires à coefficients rationnels, donc les solutions a et b sont rationnelles, ainsi donc que les coordonnées de A+aw. Pour l'orthocentre on a un raisonnement du même genre.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Mais avoir "toutes" les solutions est quasiment impossible, puisqu'il y a une infinité de triangles correspodants à ces critères! Pour appuyer ça, tout les triangles issus de ton triangle par Homothétie fonctionnent pour ton énoncé (à condition bien sûr que les sommets soient toujours à coordonnées entières), et de la même manière, toutes les translations faisant que les sommets de ton triangle image sont entiers entraineront que le triangle image vérifie ton énoncé. Si tu souhaites juste en avoir beaucoup, c'est assez facile, on peut appliquer une translation de vecteur (-2,0) comme l'a fait Amanuensis, ou le triangle de sommets A'(-4,6), B'(14,0) et C'(4,-10), et encore tout un tas d'autre.
Tout les triangles vérifiant A(-2k,6k), B(7k,0), C(2k,-5k) avec k un entier relatif sont solutions, toutes les translations de ton triangle par un vecteur u(a,b) avec a et b deux entiers relatifs non nuls simultanément (car sinon tu retombes sur ton triangle) vérifient également ton énoncé. Après cela, tu peux noter que toutes un tas de rotation permettent d'obtenir les mêmes résultats, par exemple la rotation de centre C d'angle 180°, ou celle de centre B d'angle 180°, etc...
Enfin voila, je sais pas vraiment quoi ajouter sur ton exercice ^^
Je pense que le problème peut se ramener à la recherche des triangles rectangles ayant des coordonnées de sommets entières.
Puisque les triangles que vous cherchez peuvent être vus comme des assemblages de triangles rectangles.
Merci encore amanuensis tes suppositions sont exactes , j, ai mené tous les calculs , ils confirment bien tes hypothèses Bien cordialement.
