1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)
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1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)



  1. #1
    Bleyblue

    1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)


    ------

    Bonjour,

    Je cherche une formule explicite pour la somme :

    1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    (n naturel)

    Je procède comme ça :

    = (2n + 1) + (2(n -1) + 1) + (2(n -2) + 1) + ... + (2(n - (n -1)) + 1) + (2(n - n) + 1)

    = (n + 1)2n + (n + 1) - 2 (0 + 1 + 2 + ... + n)

    avec 0 + 1 + 2 + ... + n

    donc

    = (n + 1)2n + (n + 1) - n(n + 1)
    = n(n + 1) + (n + 1)

    = (n + 1)²

    C'est bon mais je pense que je me complique la vie et qu'il doit y avoir un moyen plus simple d'y parvenir non ?

    En particulier si je prends la formule :

    0 + 1 + 2 + ... + n

    Et que je remplace simplement n par (2n + 1) dans la fomule je me demande bien pourquoi je ne tombe par sur la bonne réponse ?
    C'est la même somme mais simplement n est remplacé par 2n + 1 donc à priori je peux poser u = (2n + 1) non ?

    merci

    -----

  2. #2
    pi-r2

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Ce serait tentant, mais non.
    En "français" la somme 1+2+3+...+n est la somme des entiers consécutifs de 1 à n.
    Si tu remplaces n par 2n+1, c'est donc la somme des entiers consécutifs de 1 à 2n+1.
    Ils sont toujours consécutifs, par un sur deux.
    Ce serait beaucoup plus clair pour toi si tu connaissais les notation en somme [SIGMA] avec lesquelles les changement de variables sont plus rigoureux (comme pour les intégrales). Ici en quelques sortes, tu ne change que la borne de la somme, pas la fonction sommée.
    Bon faudrait vraiment que je me mette au LATEX.
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !

  3. #3
    martini_bird

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Salut,

    perso, j'écrirais simplement que la somme cherchée est :



    en utilisant seulement le résultat sur les sommes partielles d'une suite arithmétique.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #4
    Bleyblue

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Citation Envoyé par pi-r2
    Ce serait beaucoup plus clair pour toi si tu connaissais les notation en somme [SIGMA] avec lesquelles les changement de variables sont plus rigoureux (comme pour les intégrales).
    Je connais bien évidemment la notation mais je n'ai jamais entendut parler de changement de variable avec ces sommes ... ça pourrait être très utile ça.

    Citation Envoyé par martini_bird
    en utilisant seulement le résultat sur les sommes partielles d'une suite arithmétique.
    Effectivement, c'est plus court ...

    merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invited927d23c

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Salut,

    Tu as la suite suivante :



    On veut faire la somme de n=0 à n, donc en appliquant la formule de la somme partielle d'une suite arithmétique on trouve :



    C'est à dire on prend la valeur moyenne des termes, 1er plus dernier diviser par 2, et puis on multiplie par le nombre de terme (n+1), car on commence à n=0.

  7. #6
    Coincoin

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Salut,
    Y a aussi une méthode géométrique très élégante :
    Tu prends un carré de côté 1, tu vois ensuite que tu peux rajouter trois carrés de même côté pour obtenir un carré de côté 2 :
    yy
    xy
    (le x est le carré de départ, les y ceux que tu as rajouté).
    Si tu en rajoutes 5, ça donne :
    zzz
    yyz
    xyz
    Et ainsi de suite...
    Tu vois donc que la somme des impairs te donne simplement un carré.

    PS Désolé pour les schémas moches qui demandent beaucoup d'imagination...
    Encore une victoire de Canard !

  8. #7
    invitec314d025

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Citation Envoyé par Coincoin
    PS Désolé pour les schémas moches qui demandent beaucoup d'imagination...
    Illustration ici

  9. #8
    Coincoin

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Merci !!! J'ai cherché rapidement sous Google mais j'ai pas trouvé. Ton lien est parfait !
    Encore une victoire de Canard !

  10. #9
    martini_bird

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Salut,

    ce genre de représentations géométriques des nombres étaient abondamment utilisées par les Grecs : ce sont des gnomons.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  11. #10
    invitec314d025

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Citation Envoyé par martini_bird
    ce sont des gnomons
    Ah tiens, pour moi "gnomon" désignait juste un bâton planté dans le sol dont on étudiait l'ombre (ancêtre du cadran solaire).
    Je ne l'avais jamais entendu dans cette acception.

  12. #11
    invitec314d025

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    On peut trouver quelques constructions du même genre dans ce
    document
    .
    On y trouve aussi la définiton de gnomon en géométrie par Héron d'Alexandrie :
    Un gnomon est la chose qui ajoutée à quelque chose d'autre, figure ou nombre, forme un tout semblable à la chose à laquelle elle a été ajoutée.

  13. #12
    Bleyblue

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    D'accord, la méthode géométrique est amusante

    Héron d'Alexandrie j'en ai déja entendut parler dans un cours pour son principe sur la réflexion de la lumière ...

    merci

  14. #13
    invitece09fd97

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Personellement j'aurai pas fait comme ça, je me serai pas embêté : j'aurai calculé les 3-4 premiers termes de la suite, remarqué que le terme général semblait être (n+1)², puis démontré ça par récurrence.

    Je dis pas que c'est LA bonne solution, ni la plus élégante, mais c'est à mon sens la plus efficace si on a pas envie de perdre du temps à trouver une démonstration "sur mesure"

  15. #14
    martini_bird

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Salut,

    il est vrai que la récurrence rend bien service lorsque l'on peut deviner la formule.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  16. #15
    Bleyblue

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Oui mais il faut encore remarquer qu'il s'agit de (n + 1)² (et donc essayer de deviner et j'aime pas ça )

  17. #16
    Bloud

    Re : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)

    Citation Envoyé par RP1700
    Personellement j'aurai pas fait comme ça, je me serai pas embêté : j'aurai calculé les 3-4 premiers termes de la suite, remarqué que le terme général semblait être (n+1)², puis démontré ça par récurrence.

    Je dis pas que c'est LA bonne solution, ni la plus élégante, mais c'est à mon sens la plus efficace si on a pas envie de perdre du temps à trouver une démonstration "sur mesure"
    C'est vrai que la récurrence, c'est bien sympa quand on "voit" la forme du résultat. Seulement il y a des cas plus compliqués. Je pense qu'il est toujours bien de savoir comment on fait, autrement que par récurrence, pour prouver des résultats classiques. Un exemple bête : la somme des carrés des n premiers entiers naturels. Par récurrence c'est évident. Mais avoue que c'est un peu malhonnête de dire "j'ai fait un test avec différents entiers naturels et j'ai conjecturé que la somme était égale à " . Je crois que dans ce cas-là c'est bien de savoir aussi le démontrer "honnêtement" .
    I was born intelligent...education ruined me!