bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a corriger ma reponse pour la question suivante
Soient E, F des espaces de vectoriel normés .et f Une application linéaire de E dans F
montrer que Gf = {(x, f(x)) | x ∈ E} est fermé dans E × F si et
seulement si xn →0 et f(xn) →y implique y=0
voici ma reponse
f Une application linéaire de E dans F telque xn →0 et f(xn) →y implique y=0
montrons que Gf = {(x, f(x)) | x ∈ E} est fermé dans E × F
soit (xn, f(xn))n∈N est une suite de Gf qui converge dans E × F vers
(x, y) donc xn-x→0 et f(xn-x)=f(xn) -f(x)→y -f(x) implique y-f(x)=0 par hypothese donc y=f(x)
parsuite
si (xn, f(xn))n∈N est une suite de Gf qui converge dans E × F vers
(x, y), alors on a y = f(x) et (x, y) ∈ Gf .donc Gf est un fermé
Réciproquement, supposons que Gf est fermé.montrons que si xn →0 et f(xn) →y implique y=0
soit ( xn )∈ E telque
xn →0 et f(xn) →y
on a (xn, f(xn))∈ Gf qui est un fermé et (xn, f(xn))→(0,y) donc (0,y)∈ Gf donc y=f(0)=0
merci en avance
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