Pourquoi le tore est noté S1xS1?

[invite0731164c]

Bonjour

Petite question sur le tore : pourquoi le note-t-on S1xS1. Intuitivement je vois que le tore est "sous-tendu" par 2 cercle mais y-a-t-il une justification rigoureuse pour cette notation?
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[invite5357f325]

Tout simplement car il est homéomorphe à l'espace produit . De manière informelle, tu peux effectivement voir le tore comme une famille de cercle paramétré par un autre cercle.

[invite5357f325]

Ma réponse n'est pas très argumenté et tu veux sans doute un argument plus solide. C'est très rarement démontré dans les livres je pense. Appelons le carré et l'espace produit . Appellons l'espace quotient formé à partir de où (et pareil avec ).
Le but du jeu est donc de montrer qu'on a homéomorphe à .

L'application exponentielle se restreint à une application . Par conséquent, je peux prendre l'application .

Plusieurs remarque :

1) mon application est bien définie, pourquoi ?

2) pourquoi est ce suffisant de vérifier que f est continue et injective pour obtenir un homéomorphisme ?

3) finalement, pourquoi le paragraphe précédent montre bel et bien que les deux espaces sont homéomorphes ?

[invite0731164c]

Bonjour,

Je ne comprends pas trop la signification de exp(2i*pi*s), sachant que s est un élément de R^2 (probablement un représentant de sa classe).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5357f325]

En fait exp : [0,1] -> C induit exp x exp : [0,1] x [0,1] -> C^2, (s,t) -> (exp(2pi*is),exp(2pi*it)) € C^2. C'est cette application dont je parle, qui induit bien exp : X -> C^2.

[invite5357f325]

Je vais reformuler de manière plus claire (j'espère).
On considère l'application pour tout réels .
Comme l'exponentielle est -périodique, on en déduit que et . Par conséquent, définit une application continue : . Maintenant, elle est injective, car sur l'intérieur du carré elle l'est. Mais alors, c'est un homéomorphisme ! C'est un fait général : si est une bijection continue, avec compact et Hausdorff, alors est un homéomorphisme.
Finalement regardons à quoi ressemble cette fameuse image : c'est tout les couples pour ce qui corresponds bien au produit : il est légitime d'appeller le tore .