Exercice avec l'extrémum d'un déterminant sur une sphère

[plaxtor]

Bonjour,
Voici l’exercice :
Soit p une norme sur
On définit la norme .
La première question est de justifier que N est bien une norme (facile), puis qu'ensuite l'application qui part de la boule unité de p (tel que p(X) = 1) vers R,
à qui X associe det(X) présente un maximum (facile).

Ensuite on note un point pour lequel présente un maximum.
Montrer que est inversible (facile) puis que

En prenant B = on en tire,
Je bloque sur ce dernier petit bout (prouver que ). J'ai pensé à évaluer N en , ou de son inverse, et avec et
obtenir une inégalité (style inégalité de moyenne), mais elle est pas dans le bon sens

Depuis tout à l'heure je tourne autour du pot, sans trouver la solution. Je vois cette trace qui me titille avec son Cauchy-Schwartz, je sens que je suis proche ! J'aimerais ne pas avoir à utiliser les trucs style lagrange, gradient & co !

Cet énoncé est issu de la dernière RMS (exercice 270) dont le corrigé est sorti mais auquel je n'ai pas accès.... Donc si une âme charitable dispose du corrigé..
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[Universus]

Bonjour,

J'aimerais ne pas avoir à utiliser les trucs style lagrange, gradient & co !

Malheureusement, c'est la meilleure (seule) solution que je vois...

Pour une matrice telle que , considérons un chemin tel que et . Par compacité de l'ensemble , le réel peut être choisi assez petit pour que soit inversible pour tout « temps » et pour toute matrice B. Alors la formule de Jacobi indique que

.

Cette dérivée est maximisée (par compacité, le supremum est un maximum) parmi toutes les matrices par une matrice telle que . Or cette dérivée est aussi maximisée par un multiple du gradient de la fonction déterminant ; par les idées menant aux multiplicateurs de Lagrange et par définition de , nous avons ainsi . Cela conclut.

[plaxtor]

Ha ouais je ne connaissais pas cette formule, mais effectivement elle tombe à point nommé. Je voulais pas utiliser ces outils car ça allait faire du hors programme à tous les coups

Par contre je saisis pas pourquoi tu dis par compacité de , il ne suffit pas de dire que Gln(R) est ouvert donc autour de on trouvera toujours un petit chemin qui rentrera dans une petite boule, peu importe B ? (Cette phrase est à prendre au sens mathématique bien sur )

Et quand tu dis "Or cette dérivée est aussi maximisée par un multiple du gradient de la fonction déterminant". Je suis d'accord mais le gradient n'est pas forcément dans .
Si tu pouvais m'expliquer un tout petit peu plus en détail ça me permettrai de mieux comprendre.

[Universus]

Ha ouais je ne connaissais pas cette formule, mais effectivement elle tombe à point nommé. Je voulais pas utiliser ces outils car ça allait faire du hors programme à tous les coups

Je ne suis pas Français, ni Européen, donc ce qui est dans le programme (ou ne serait-ce qu'est un RMS) m'est totalement étranger ! Navré !

Par contre je saisis pas pourquoi tu dis par compacité de , il ne suffit pas de dire que Gln(R) est ouvert donc autour de on trouvera toujours un petit chemin qui rentrera dans une petite boule, peu importe B ? (Cette phrase est à prendre au sens mathématique bien sur )

Tout à fait, c'est amplement suffisant. Je ne voulais tout simplement pas écrire ...

Et quand tu dis "Or cette dérivée est aussi maximisée par un multiple du gradient de la fonction déterminant". Je suis d'accord mais le gradient n'est pas forcément dans .
Si tu pouvais m'expliquer un tout petit peu plus en détail ça me permettrai de mieux comprendre.

En effet, le gradient du déterminant n'est pas forcément dans cet ensemble, mais ce n'est pas tout à fait ce dont nous avons besoin : nous voulons maximiser la dérivée directionnelle non pas parmi les vecteurs de « norme usuelle » 1, mais parmi ceux de « norme p » 1. Nous savons qu'il existe tel que et nous savons que c'est dans cette direction que la dérivée est maximisée. Puisque et , nous voudrions montrer qu'il existe tel que , car alors nous saurions que (puisque c'est qui maximise parmi tous les ). Or, cela découle de l'idée maîtresse de Lagrange afin d'obtenir ses multiplicateurs : en , les hypersurfaces et sont tangentes. est perpendiculaire à la première hypersurface (en partie par définition, en partie par l'équation de Jacobi) tandis que est perpendiculaire à la seconde hypersurface (ici, l'association est pris comme produit scalaire).

Ce qui m'apparaît compliqué dans ce problème, c'est de savoir comment lier la fonction déterminant au reste des données, ainsi que le fait que maximise cette fonction dans un ensemble déterminé totalement indépendamment du déterminant ou de la trace. À cet égard, la formule de Jacobi tombe à point nommé, comme vous le soulignez: elle indique d'une part comment lier la trace (et donc la norme N) au déterminant et elle indique d'autre part en quoi le fait que maximise le déterminant sur l'ensemble montre que vecteur est perpendiculaire à cette hypersurface (par rapport à un produit scalaire de prime abord indépendant de la norme p). Je ne vois pas vraiment comment parvenir à ces deux conclusions sans utiliser la formule de Jacobi : il y a probablement moyen, mais bon...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Je raconte n'importe quoi dans mon dernier message. Déjà, il n'est pas assuré que le maximum des dérivées directionnelles prises le long parmi les vecteurs de soit atteint par le vecteur colinéaire au gradient ; c'est le cas si tous les vecteurs de cet ensemble avait la même « norme usuelle », mais ici ce n'est pas le cas. De plus, la formule de Jacobi implique que le plan tangent à en est perpendiculaire à , mais pas nécessairement à ... En général, ni l'une, ni l'autre de ces deux affirmations n'est vérifiée...

La relation de Jacobi que j'ai écrite dans mon premier message montre que la dérivée directionnelle de la fonction le long d'un vecteur de basé en est maximisée par le vecteur tel que . Nous voudrions montrer que ce .

Ceci découle principalement d'une sorte de principe de Huygens. Plus précisément, soit . Il s'agit d'un ensemble compact, convexe, symétrique et contenant toutes ses homothéties pour . Il s'avère que pour , l'ensemble correspond à la somme de Minkowski . Moralement, en gonflant E en lui accolant en tout point de sa frontière une petite copie de lui-même, c'est comme si nous l'avions dilaté de manière isotrope.

L'importance de cette constatation vient à l'utilisant de concert avec les propriétés du déterminant sous les dilatations. Si dénotent une homothétie de facteur , alors la fonction déterminant vérifie . Ainsi, connaître sur suffit à connaître sa valeur sur chaque . Plus encore, pour tout , le maximum de sur est atteint en . En prenant la limite quand , nous en déduisons que la dérivée directionnelle est maximale lorsque .

[plaxtor]

Je te remercie pour tes compléments.
J'ai également eu accès à une autre démonstration qui complète les idées énoncées dans ta démonstration mais avec des résultats plus proches du programme.

Ps : RMS = Revue de mathématiques spéciales , c'est une revue trimestrielle comportant autour de 1000 exercices liés au programme des différentes classes préparatoires aux grandes écoles. Les énoncés sont variés, et c'est un bon compléments de révisions.