Tansvections

[invitecbade190]

Bonjour,

On sait que les transvections ( Transformations linéaire : ) engendrent les groupes spéciaux linéaires : , de matrices de transvections correspondantes s'écrivant : .

Mon problème est qu'en revanche, il y'a une notion étrange que je trouve dans certains bouquins, très proche de cette notion de transvections des groupes , il s'agit des transvections symplectiques qui engendrent les groupes symplectiques : avec : une forme bilinéaire, alternée, non-dégénérée. Comment s'écrivent les matrices de transvections symplectiques correspondantes à ces transvections symplectiques ?

Merci d'avance.
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Je n'ai jamais rencontré la notion de transvection symplectique, ce qui trahit peut-être le bien peu de temps que j'ai consacré à l'étude des groupes symplectiques linéaires. Par contre, considérant que les matrices symplectiques sont en particulier des matrices de déterminant 1 (c'est une version linéaire du théorème de Liouville), je suppose qu'une transvection symplectique n'est qu'une transvection (de ) qui s'avère être symplectique...

À vue de nez, une fois une base symplectique fixée, c'est-à-dire une fois des coordonnées de Darboux choisies, je dirais qu'il s'agit des applications obtenues en suivant le flot du champ hamiltonien d'une somme de monômes de degré 2 ne comportant chacun qu'une seule variable, en évitant de sommer des monômes « conjugués » (c'est-à-dire ne commutant pas sous les crochets de Poisson). Après tout, on sait que les transformations linéaires symplectiques sont obtenues comme une succession de flots de champs hamiltoniens associés à des quadratiques homogènes, de sorte que le groupe symplectique est généré par les (flots des champs hamiltoniens associés aux) monômes de degré 2.

[invitecbade190]

Merci pour ta contribution Universus toujours enrichissante et instructive.
Pour être claire avec toi, je n'ai que très peu de connaissance en formalisme hamiltonien. J'ai appris il n'y'a pas longtemps la géometrie symplectique, mais des que j'ai commencé à toucher à du : système hamiltonien, géométrie de contact, Lagrangien ... etc, j'ai fait stop, parce que, ce n'est pas l'objet de mon apprentissage. J'apprends la géométrie symplectique, parce que, une partie de cette théorie s'applique à la théorie de Hodge, et moi, la plupart de mon apprentissage se concentre sur les tenants et aboutissants de cette théorie.
Merci tout de même pour ta réponse, et je ne sais pas si tu as un exemple simple de matrices de transvections qui sont de nature symplectique. Tu peux m'en fournir une ?
Merci d'avance.

[invite93e0873f]

Évidemment, les variétés kählériennes étant des exemples assez précis et contraints de variétés symplectiques, une grande partie des outils développés dans le but d'étudier la catégorie symplectique est mal adaptée à l'étude de la catégorie kählérienne. C'est du moins l'impression première que nous pouvons avoir ; j'ai néanmoins le vague sentiment que les choses changent petit à petit, de sorte qu'une connaissance des géométrie et topologie symplectiques peut s'avérer de plus en plus utile même pour quelqu'un principalement intéressé par le cas kählérien.

N'importe quel espace vectoriel symplectique de dimension fini est isomorphe à l'espace vectoriel symplectique standard de même dimension, de sorte que nous pouvons ne considérer que le cas [TEX](\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)/TEX] où . Nous dénoterons un point quelconque de à l'aide d'un vecteur colonne . Nous effectuons pour tout l'identification linéaire à l'aide de la connexion canonique sur l'espace vectoriel ; ce faisant, il existe un isomorphisme entre l'ensemble des champs vectoriels et l'ensemble des applications .

Soit une fonction lisse quelconque. Le champ vectoriel (hamiltonien) associé à H est défini par la relation où est le gradient et est une matrice par blocs, chaque bloc étant une matrice carrée de taille n.

Si est un polynôme quadratique homogène dans les variables et , alors est tel que l'application correspondante est linéaire. La réciproque est vraie : si cette dernière application est linéaire, alors H est un polynôme quadratique homogène modulo une constante additive. Ainsi, l'application se restreint en une application ; en post-composant par l'application exponentielle , c'est-à-dire en prenant l'application au temps 1 du flot du champ hamiltonien, nous obtenons une application . Un fait non trivial est que cette application n'est pas surjective, mais l'algèbre matricielle générée par l'image est tout le groupe symplectique (ceci est symptomatique du fait que l'exponentielle n'est pas surjective, fait lié en retour à la non compacité du groupe symplectique).

Les transvections symplectiques « élémentaires » sont néanmoins dans l'image. En effet, supposons que soit une transvection symplectique (avec ) ; il s'agit de l'application au temps 1 du champ vectoriel , de sorte que . Ainsi, . Un calcul simple montre que cela n'est possible que si . Si (avec ), alors ; si (avec ), alors .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Merci beaucoup. J'ai compris ta réponse. En bref, il faudrait garder en tête que pour qu'une transvection soit symplectique, il faut qu'elle satisfasse la condition : vis à vis des .
Merci Universus.

[invite93e0873f]

Une petite correction :

Si (avec ), alors ; si (avec ), alors .

Après le point-virgule, il faudrait lire .

Dans mon précédent message, j'ai caractérisé quelles sont (pour une base symplectique donnée) les transvections « élémentaires » symplectiques ; en changeant de base, nous obtenons en général d'autres transvections « élémentaires », que nous pouvons exprimer directement dans la base initiale.

Par exemple, dans , nous avons deux transvections « élémentaires » générées par et . Il y a aussi, pour tout , une transvection générée par le « hamiltonien » , dont les deux transvections précédentes sont des cas particuliers. En deux dimensions, toutes les transvections sont engendrées par le flot hamiltonien de ces fonctions. Notons par exemple que n'engendre pas une transvection, mais une rotation, qui elle-même est la composition de deux transvections.

[invitecbade190]

Merci Universus.
Pour ma culture, il y'a un truc qui me turlupine lorsque tu invoques : . Pourquoi tu choisis spécialement ce : de cette forme, et non une autre forme de polynôme de ?.
Quant je vois que s'écrit en fonction de et , ça me fait penser au sous groupe à - paramètre de associé à un champ de vecteurs : et qui est donné par : avec à déterminer. Est ce que c'est ça le contexte ?
Merci d'avance.

[invite93e0873f]

J'ai effectivement commis une erreur : j'ai attribué à tort des propriétés de transformations des champs vectoriels aux fonctions les générant. Il s'avère donc aussi que la suggestion faite « à vue de nez » dans mon premier message est erronée (mon nez est malvoyant). Je corrige le tir ici.

L'élément le plus général de est de la forme (je me restreins à la dimension 2) avec . Ainsi, . Si , alors on a l'égalité entre flots , de sorte que si nous sommes prêts à considérer non seulement le flot au moment 1, mais le flot à n'importe quel moment s, nous pouvons contraindre H sans perte de généralité (l'association étant linéaire).

En deux dimensions, considérant ce qui précède, nous n'avons qu'à produire les transvections le long d'un vecteur unitaire (pour la norme usuelle) situé dans le premier et le deuxième quadrants. Pour ce faire, il suffit de choisir la base dont le premier vecteur est le vecteur ( ) qui nous intéresse et dont le second vecteur est . Les coordonnées dans cette base sont . La transvection dans la direction de est l'application au temps 1 du flot hamiltonien associé à la fonction .

La présence de est due à l'utilisation d'un groupe (à un paramètre) dans l'argument, à savoir le groupe des rotations.

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En général, soit une transvection symplectique sur ; il s'agit de l'application au temps 1 du flot associé au champ vectoriel . Ainsi, , donc .

Cette dernière fonction, prise en elle-même, n'est pas identiquement nulle dès que h et u ne le sont pas. Cela donne l'impression que toute transvection est symplectique, mais c'est impossible, car cela signifierait que le groupe symplectique est le groupe linéaire spécial, ce qui n'est pas le cas. C'est subtil, mais pour résoudre ce paradoxe, il nous faut débuter avec ; nous calculons . En tout temps, . Ainsi, d'après le paragraphe précédent, pour que la fonction induise une transvection, il faut avoir pour tout . Nous pouvons montrer que cela n'est possible que si pour une certaine constante C.

Ainsi, les seules transvections symplectiques sont de la forme et sont générées par les hamiltoniens .

[invitecbade190]

Merci beaucoup. Votre réponse est bien claire.