fourmis de Langton

[umoteck]

Bonjour,

La phase irréversible (l'autoroute) dans le cas de la fourmis de Langton peut-elle être considérée comme ordonnée ? si oui, n'y a t-il pas une contradiction avec le 2ème principe de la thermo (dans l'hypothèse bien entendu où l'automate cellulaire est assimilé à un système thermo) ?


p.s: quelle est la définition d'ordre/désordre pour un mathématicien ? pour un physicien ?


EDIT: je ne sais pas si je dois doubler mon sujet aussi dans le forum physique, vu que c'est semble t-il une question interdisciplinaire ?

Merci.
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[Médiat]

Bonjour,

EDIT: je ne sais pas si je dois doubler mon sujet aussi dans le forum physique, vu que c'est semble t-il une question interdisciplinaire ?

Non, c'est même interdit de publier des doublons ! Par contre, vous pouvez annoncer ce fil en physique, avec un lien, afin que toutes les interventions se fassent au même endroit.

Médiat, pour la modération

[Universus]

Bonjour,

La phase irréversible (l'autoroute) dans le cas de la fourmis de Langton peut-elle être considérée comme ordonnée ? si oui, n'y a t-il pas une contradiction avec le 2ème principe de la thermo (dans l'hypothèse bien entendu où l'automate cellulaire est assimilé à un système thermo) ?

Je pense que cette question appelle davantage à des commentaires et à des discussions qu'à une réponse bien précise. Du moins, c'est ce que m'amène à penser mes commentaires (bien imprécis) ci-dessous.

La thermodynamique est une théorie de principes, une théorie axiomatique. À partir de ses quelques axiomes, qui sont par ailleurs formulés de manière si générale qu'elle en est quelque peu imprécise, on déduit toutes sortes de résultats théoriques qui peuvent ou non être compatibles avec les données expérimentales d'un système physique donné ; le système est dit « thermodynamique » s'il y a compatibilité. Or, cette compatibilité n'est qu'approximative : il ne faut pas déduire de cette compatibilité le respect absolu des axiomes de la thermodynamique, d'autant plus que ceux-ci sont un peu vagues. Par exemple, le deuxième principe de la thermodynamique est (dans un sens) faux même pour des systèmes dits « thermodynamiques ».

La mécanique statistique tente de déduire la thermodynamique à partir de la dynamique précise (mais « moyennée ») d'un système physique. Bien souvent, la dynamique précise d'un système est réversible, comme c'est le cas pour la fourmi de Langton : le « film » d'une évolution de la fourmi de Langton regardé à l'envers donne aussi lieu à une évolution possible de la fourmi. (Soit dit en passant, la dynamique de la fourmi de Langton étant réversible, il est bien maladroit de dire que « l'autoroute » est une phase irréversible.) Il semblerait donc qu'il y ait violation du deuxième principe de la thermodynamique, mais c'est parce que nous ne regardons qu'une évolution précise de la fourmi. La mécanique statistique, en particulier à travers le H-théorème de Boltzmann, indique que le deuxième principe de la thermodynamique est une manifestation d'une certaine dynamique « moyennée » résultant d'une éventuelle méconnaissance (parfois volontaire) des détails précis de l'état d'un système. Il est à noter que le H-théorème s'applique dans le cas d'une dynamique parfaitement connue et indique alors seulement que l'entropie H de Boltzmann est constante le long d'une évolution ; ce n'est pas incompatible avec le deuxième principe de la thermodynamique, mais ça ne le conforte pas non plus.

p.s: quelle est la définition d'ordre/désordre pour un mathématicien ? pour un physicien ?

Il n'y a pas une seule définition possible de ces choses, peut-être ni même une seule définition complètement satisfaisante de ces choses (mais je ne peux pas en juger). Pour divers objets mathématiques, il y a cependant des notions rigoureuses de « désordre », que l'on peut prendre comme synonyme de « complexité ».

Considérons par exemple les nombres réels. Moralement, un entier est plus simple qu'un rationnel, qui est lui-même plus simple qu'un irrationnel, un irrationnel algébrique étant plus simple qu'un transcendent, etc. Évidemment, « simple » est ici mal défini et il est possible que certains rationnels soient perçus plus simples selon certains critères que certains entiers. Une manière de définir rigoureusement (à plusieurs technicités près) la complexité d'un nombre a été proposée par Kolmogorov : grosso modo, un nombre est d'autant plus simple qu'il existe un programme informatique court permettant de l'écrire.

De manière similaire, il est possible de quantifier la complexité d'une configuration de N particules dans l'espace réel de dimension D. Il est clair que ND nombres réels suffisent à décrire une telle configuration, mais certaines configurations nécessitent bien moins de nombres pour être complètement déterminées. Par exemple, un cristal est une configuration très redondante. Plus particulièrement encore, un réseau isomorphe à (qui contient une infinité de points) est déterminé par la position de son origine et des D générateurs, donc par D(D+1) réels. Le quotient du nombre minimal de réels nécessaire à déterminer la configuration avec ND peut être une mesure de la complexité ou du désordre de la configuration : un réseau a alors une complexité nulle, un cristal une complexité très petite (ce qui évoque le principe zéro de la thermodynamique), etc. Cette définition n'est certainement pas sans reproche.

Qu'importe la notion de complexité utilisée, il est vraisemblable que les nombres ou les configurations compliqués soient majoritaires, de très loin majoritaires même. Ainsi, sans connaissance supplémentaire, une dynamique générique sur les nombres ou sur les configurations devrait habituellement accroître la complexité. C'est un peu cette idée qui explique les liens souvent tissés entre le deuxième principe de la thermodynamique et le désordre/la complexité d'un système.

Je pense par contre que ces liens sont trompeurs, voire erronés. De manière vague, la conclusion que je tire plutôt de la mécanique statistique est que si je suis méconnaissant des particularités d'un système (fermé), ma méconnaissance de cette méconnaissance ne peut que s'améliorer au fil du temps. Qu'importe ma méconnaissance sur le lancer d'une balle, j'ai la quasi-certitude qu'elle retombera au sol et s'immobilisera, et je suis de plus en plus sûr qu'elle est tombée et immobilisée plus le temps avance.

Si les « autoroutes » sont des attracteurs de la fourmi de Langton, une description statistique de ce système dynamique devrait tout de même percevoir cela : cette description ne permettrait pas forcément de dire si une autoroute s'est formée, ni où et dans quelle direction, mais la probabilité que ce soit le cas croît au fil du temps.