[PROBA] Indépendance vecteur Gaussien

[maxime.thin]

Bonsoir à tous.

J'aurai besoin d'aide pour un petit exercice sur les vecteurs Gaussien. Venant à peine de l'aborder en cours, je dois vous avouer que j'ai du mal.
Le problème est le suivant :

On nous donne que (U, V) est un vecteur Gaussien centré, avec var(U) >0.
On nous demande la valeur de a tel que les variables U et W = V - a.U soient indépendantes.


Ce que je sais de mon côté, si j'ai bien compris, c'est que si U et W sont indépendants, alors on a la cov(U, W) qui est nulle.
Par définition, cov(U, W) = E[(U-E[U])(W-E[W]). Si U est centré, on a donc E[U] = 0. J'imagine que pour W aussi (je ne saurai le justifier )
Soit cov(U, W) = E[UW] = E[U(V-aU)]
= E[UV - aU²]
par linéarité de l'espérance, ce serai E[UV] - aE[U²] = 0..

Voilà, si quelqu'un peut m'aider à trouver la solution... Sachant que je ne suis pas du tout sûr de ce que j'ai fait et qu'en plus je suis bloqué .

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonsoir.

Tu as fait l'essentiel.
(U,V) étant centré, E(U)=0=E(V); avec ça tu peux facilement prouver que E(W)=0.
Tu as donc E[UV] - aE[U²] = 0; il te reste une petit étape, qui utilise encore le centrage. Calcule cov(U,V) et var(U).
Finalement, tu vas trouver que a=cov(U,V)/Var(U), ce qui te rappelle peut-être une formule de statistiques descriptives (droite de régression).

Cordialement.

[maxime.thin]

Très bien !

Je te remercie pour ta réponse claire et rapide !