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CNS pour qu'un vecteur soit gaussien



  1. #1
    FAN FAN

    CNS pour qu'un vecteur soit gaussien


    ------

    Bonjour,

    La proposition suivante est-elle exacte:

    Un vecteur aléatoire de Rd est gaussien si et seulement si:
    - toutes ses composantes sont gaussiennes
    - au moins deux de ses composantes sont indépendantes

    Je déduis cette proposition des deux théorèmes suivant de mon cours de Probabilités:

    1. vecteur gaussien => toutes ses composantes sont gaussiennes
    2. si X1,...,Xd sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes, alors le vecteur (X1,...,Xd) est gaussien

    Est-ce bien exact ?

    -----

  2. #2
    FAN FAN

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Bonjour,

    La proposition suivante est-elle exacte:

    Un vecteur aléatoire de Rd est gaussien si et seulement si:
    - toutes ses composantes sont gaussiennes
    - au moins deux de ses composantes sont indépendantes

    Je déduis cette proposition des deux théorèmes suivant de mon cours de Probabilités:

    1. vecteur gaussien => toutes ses composantes sont gaussiennes
    2. si X1,...,Xd sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes, alors le vecteur (X1,...,Xd) est gaussien

    Est-ce bien exact ?

    Je crois que dans 2., on peut supprimer l'hypothèse d'indépendance si on considère comme toujours gaussien un vecteur gaussien "dégénéré" et dans ce cas la CNS devient:

    Un vecteur aléatoire de Rd est gaussien si et seulement si:
    - toutes ses composantes sont gaussiennes
    (?)

  3. #3
    Romain-des-Bois

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    Salut,

    je ne sais pas si je vais pouvoir beaucoup t'aider, je ne maitrise pas bien le sujet, mais il me semble qu'un vecteur Y est Gaussien s'il suit une loi normale multidimensionnelle, qu'on peut notée (où est une matrice dxd symétrique, semi définie positive)

    avec
    Y suit une loi normale
    si et seulement si pour tout vecteur , on a :
    suit une loi normale (unidimensionnelle) de paramètres et

    EDIT : avec le produit scalaire euclidien.

    A vérifier...

    Romain

  4. #4
    FAN FAN

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Bonjour,

    La proposition suivante est-elle exacte:

    Un vecteur aléatoire de Rd est gaussien si et seulement si:
    - toutes ses composantes sont gaussiennes
    - au moins deux de ses composantes sont indépendantes

    Je déduis cette proposition des deux théorèmes suivant de mon cours de Probabilités:

    1. vecteur gaussien => toutes ses composantes sont gaussiennes
    2. si X1,...,Xd sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes, alors le vecteur (X1,...,Xd) est gaussien

    Est-ce bien exact ?
    Une autre façon de formuler ma question:
    Existe-t-il un vecteur aléatoire non gaussien dont toutes les composantes soient des gaussiennes ?
    Si oui, un exemple ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Romain-des-Bois

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    J'ai un théorème qui va t'intéresser :
    un vecteur aléatoire centré

    Il y a équivalence entre :
    M suit une loi normale centrée à n dimensions

    et

    toute combinaison linéaire des suit une loi normale centrée à une dimension.

    (extrait de calcul des probabilités de Foata&Fuchs)

    En particulier, j'en déduis :
    M suit une loi normale centrée à n dimensions implique que chaque suit une loi normale

    et

    Si chaque suit une loi normale (centrée) et que ces v.a. sont indépendantes, alors toute combinaison linéaire suit une loi normale (centrée... à vérifier) et donc le vecteur suit une loi normale.

    Maintenant, ça ne répond pas forcément à ta question... mais ça confirme ton premier post.

    Romain

  7. #6
    Al Don Gate

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Une autre façon de formuler ma question:
    Existe-t-il un vecteur aléatoire non gaussien dont toutes les composantes soient des gaussiennes ?
    Si oui, un exemple ?
    Hello, voilà un exemple :

    Si est gaussienne réelle de loi et est de loi de Bernouilli symétrique :

    indépendante de Z, alors n'est pas gaussien mais de marge gaussienne. (Tiré de "Probabilité", Barbe, Ledoux).

    Il ne te reste plus qu'à le démontrer !
    S'as pas vis l'Ardécho N'as jamaï rein vis.

  8. #7
    invite986312212
    Invité

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    la vraie définition est la suivante: X suit la loi normale multivariée ssi pour tout vecteur normé a, a'X suit une loi normale univariée. comme le montre l'exemple cité par Al Don Gate, il ne suffit pas qu'un nombre fini de marges soient gaussiennes.

  9. #8
    FAN FAN

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    Citation Envoyé par Al Don Gate Voir le message
    Hello, voilà un exemple :

    Si est gaussienne réelle de loi et est de loi de Bernouilli symétrique :

    indépendante de Z, alors n'est pas gaussien mais de marge gaussienne. (Tiré de "Probabilité", Barbe, Ledoux).

    Il ne te reste plus qu'à le démontrer !
    Ta réponse m'amène à te poser cette autre question:

    D'une façon générale, les p lois marginales d'un vecteur aléatoire de Rp sont-elles bien les lois des p composantes du vecteur ?
    Je pense que oui, mais je n'en suis plus si sûr...

    Si c'est bien le cas, alors mon affirmation de mon premier post est fausse par ton contre-exemple.

  10. #9
    Al Don Gate

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    D'une façon générale, les p lois marginales d'un vecteur aléatoire de Rp sont-elles bien les lois des p composantes du vecteur ?
    Je ne suis pas sur de comprendre ta question... Ce que tu donnes est la définition de loi marginale :

    Soit un vecteur aléatoire de la loi de la variable aléatoire est appelée la i-ième loi marginale du vecteur aléatoire.

    Mais je suis peut-être a coté de la plaque...
    Dernière modification par Al Don Gate ; 31/07/2008 à 23h15. Motif: Mis en forme Latex
    S'as pas vis l'Ardécho N'as jamaï rein vis.

  11. #10
    invite986312212
    Invité

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Si c'est bien le cas, alors mon affirmation de mon premier post est fausse par ton contre-exemple.

    oui, elle est fausse.
    Stoyanov donne un exemple qui montre qu'il faut au moins une infinité dénombrable de marges gaussiennes pour qu'un vecteur soit gaussien: pour chaque entier N il construit une densité sur R^2 telle que N marges sur N directions distinctes soient gaussiennes, et qui cependant n'est pas gaussienne.

    marge d'un vecteur aléatoire X = loi de la projection a'X où a est un vecteur de norme 1.

  12. #11
    FAN FAN

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    Citation Envoyé par Al Don Gate Voir le message
    Je ne suis pas sur de comprendre ta question... Ce que tu donnes est la définition de loi marginale :

    Soit un vecteur aléatoire de la loi de la variable aléatoire est appelée la i-ième loi marginale du vecteur aléatoire.

    Mais je suis peut-être a coté de la plaque...

    Tu n'es pas à côté de la plaque. Tu as raison. C'est bien la définition, autant pour moi.

  13. #12
    FAN FAN

    Re : CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    oui, elle est fausse.
    Stoyanov donne un exemple qui montre qu'il faut au moins une infinité dénombrable de marges gaussiennes pour qu'un vecteur soit gaussien: pour chaque entier N il construit une densité sur R^2 telle que N marges sur N directions distinctes soient gaussiennes, et qui cependant n'est pas gaussienne.
    Peux-tu me donner un lien qui développe cette notion ?

    marge d'un vecteur aléatoire X = loi de la projection a'X où a est un vecteur de norme 1.
    Ce qui veut dire: Loi marginale = loi de toute forme linéaire du vecteur aléatoire

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