CNS pour qu'un vecteur soit gaussien

[invite97a526b6]

Bonjour,

La proposition suivante est-elle exacte:

Un vecteur aléatoire de R^d est gaussien si et seulement si:
- toutes ses composantes sont gaussiennes
- au moins deux de ses composantes sont indépendantes

Je déduis cette proposition des deux théorèmes suivant de mon cours de Probabilités:

1. vecteur gaussien => toutes ses composantes sont gaussiennes
2. si X₁,...,X_d sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes, alors le vecteur (X₁,...,X_d) est gaussien

Est-ce bien exact ?
-----

[invite97a526b6]

Bonjour,

La proposition suivante est-elle exacte:

Un vecteur aléatoire de R^d est gaussien si et seulement si:
- toutes ses composantes sont gaussiennes
- au moins deux de ses composantes sont indépendantes

Je déduis cette proposition des deux théorèmes suivant de mon cours de Probabilités:

1. vecteur gaussien => toutes ses composantes sont gaussiennes
2. si X₁,...,X_d sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes, alors le vecteur (X₁,...,X_d) est gaussien

Est-ce bien exact ?

Je crois que dans 2., on peut supprimer l'hypothèse d'indépendance si on considère comme toujours gaussien un vecteur gaussien "dégénéré" et dans ce cas la CNS devient:

Un vecteur aléatoire de R^d est gaussien si et seulement si:
- toutes ses composantes sont gaussiennes
(?)

[inviteaeeb6d8b]

Salut,

je ne sais pas si je vais pouvoir beaucoup t'aider, je ne maitrise pas bien le sujet, mais il me semble qu'un vecteur Y est Gaussien s'il suit une loi normale multidimensionnelle, qu'on peut notée (où est une matrice dxd symétrique, semi définie positive)

avec
Y suit une loi normale
si et seulement si pour tout vecteur , on a :
suit une loi normale (unidimensionnelle) de paramètres et

EDIT : avec le produit scalaire euclidien.

A vérifier...

Romain

[invite97a526b6]

Bonjour,

La proposition suivante est-elle exacte:

Un vecteur aléatoire de R^d est gaussien si et seulement si:
- toutes ses composantes sont gaussiennes
- au moins deux de ses composantes sont indépendantes

Je déduis cette proposition des deux théorèmes suivant de mon cours de Probabilités:

1. vecteur gaussien => toutes ses composantes sont gaussiennes
2. si X₁,...,X_d sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes, alors le vecteur (X₁,...,X_d) est gaussien

Est-ce bien exact ?

Une autre façon de formuler ma question:
Existe-t-il un vecteur aléatoire non gaussien dont toutes les composantes soient des gaussiennes ?
Si oui, un exemple ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

J'ai un théorème qui va t'intéresser :
un vecteur aléatoire centré

Il y a équivalence entre :
M suit une loi normale centrée à n dimensions

et

toute combinaison linéaire des suit une loi normale centrée à une dimension.

(extrait de calcul des probabilités de Foata&Fuchs)

En particulier, j'en déduis :
M suit une loi normale centrée à n dimensions implique que chaque suit une loi normale

et

Si chaque suit une loi normale (centrée) et que ces v.a. sont indépendantes, alors toute combinaison linéaire suit une loi normale (centrée... à vérifier) et donc le vecteur suit une loi normale.

Maintenant, ça ne répond pas forcément à ta question... mais ça confirme ton premier post.

Romain

[inviteb7a5e934]

Une autre façon de formuler ma question:
Existe-t-il un vecteur aléatoire non gaussien dont toutes les composantes soient des gaussiennes ?
Si oui, un exemple ?

Hello, voilà un exemple :

Si est gaussienne réelle de loi et est de loi de Bernouilli symétrique :

indépendante de Z, alors n'est pas gaussien mais de marge gaussienne. (Tiré de "Probabilité", Barbe, Ledoux).

Il ne te reste plus qu'à le démontrer !

[invite986312212]

la vraie définition est la suivante: X suit la loi normale multivariée ssi pour tout vecteur normé a, a'X suit une loi normale univariée. comme le montre l'exemple cité par Al Don Gate, il ne suffit pas qu'un nombre fini de marges soient gaussiennes.

[invite97a526b6]

Hello, voilà un exemple :

Si est gaussienne réelle de loi et est de loi de Bernouilli symétrique :

indépendante de Z, alors n'est pas gaussien mais de marge gaussienne. (Tiré de "Probabilité", Barbe, Ledoux).

Il ne te reste plus qu'à le démontrer !

Ta réponse m'amène à te poser cette autre question:

D'une façon générale, les p lois marginales d'un vecteur aléatoire de R^p sont-elles bien les lois des p composantes du vecteur ?
Je pense que oui, mais je n'en suis plus si sûr...

Si c'est bien le cas, alors mon affirmation de mon premier post est fausse par ton contre-exemple.

[inviteb7a5e934]

D'une façon générale, les p lois marginales d'un vecteur aléatoire de R^p sont-elles bien les lois des p composantes du vecteur ?

Je ne suis pas sur de comprendre ta question... Ce que tu donnes est la définition de loi marginale :

Soit un vecteur aléatoire de la loi de la variable aléatoire est appelée la i-ième loi marginale du vecteur aléatoire.

Mais je suis peut-être a coté de la plaque...

[invite986312212]

Si c'est bien le cas, alors mon affirmation de mon premier post est fausse par ton contre-exemple.

oui, elle est fausse.
Stoyanov donne un exemple qui montre qu'il faut au moins une infinité dénombrable de marges gaussiennes pour qu'un vecteur soit gaussien: pour chaque entier N il construit une densité sur R^2 telle que N marges sur N directions distinctes soient gaussiennes, et qui cependant n'est pas gaussienne.

marge d'un vecteur aléatoire X = loi de la projection a'X où a est un vecteur de norme 1.

[invite97a526b6]

Je ne suis pas sur de comprendre ta question... Ce que tu donnes est la définition de loi marginale :

Soit un vecteur aléatoire de la loi de la variable aléatoire est appelée la i-ième loi marginale du vecteur aléatoire.

Mais je suis peut-être a coté de la plaque...

Tu n'es pas à côté de la plaque. Tu as raison. C'est bien la définition, autant pour moi.

[invite97a526b6]

oui, elle est fausse.
Stoyanov donne un exemple qui montre qu'il faut au moins une infinité dénombrable de marges gaussiennes pour qu'un vecteur soit gaussien: pour chaque entier N il construit une densité sur R^2 telle que N marges sur N directions distinctes soient gaussiennes, et qui cependant n'est pas gaussienne.
Peux-tu me donner un lien qui développe cette notion ?

marge d'un vecteur aléatoire X = loi de la projection a'X où a est un vecteur de norme 1.

Ce qui veut dire: Loi marginale = loi de toute forme linéaire du vecteur aléatoire