CNS pour qu'un anneau soit artinien

[martini_bird]

Bonjour à tous,

je voudrais avoir votre avis sur ce théorème:

Théorème 17 Un anneau est artinien si et seulement si il est noethérien et si tout idéal premier est maximal.

(Mathématiques pour l'agrégation, M. Zisman, DUNOD, p.127)

En examinant le cas de , je ne vois pas pourquoi cette condition serait suffisante.

Que faudrait-il éventuellement ajouter pour que le théorème soit valable?

Merci d'avance.
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[evariste_galois]

Ce théorème est valable, ce n'est pas une erreur provenant de l'auteur du bouquin.

Un petit lien pour confirmer tout cela, avec une démonstration assez claire:

http://name.math.univ-rennes1.fr/ant...each/Dea99.pdf
(direction la page 16).

Bonne lecture.

[martini_bird]

Salut,

merci pour le lien. Mais il y a quelque chose qui me chiffonne et que je ne comprends pas: je reproduis la partie de la démonstration qui m'intéresse.

Supposons c) (A est noethérien et tout idéal premier de A est maximal). Comme A est noethérien, il existe une suite de composition

où pour un certain idéal premier . La condition c) implique que est un idéal maximal. Par suite, A est de longueur finie comme A-module.

Si je considère et la suite de composition , dois-je en conclure que est artinien. :confused:

Merci de m'éclairer.

[evariste_galois]

Si je considère et la suite de composition , dois-je en conclure que est artinien. :confused:

Merci de m'éclairer.

Soit la suite d'idéaux de Z 2^nZ . Elle est infinie strictement décroissante. Donc Z n'est pas artinien.
(Exemple trouvé sur un cours de master).

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Donc Z n'est pas artinien.

Je sais bien et le problème est précisément là: Z est noethérien et tous ces idéaux premiers sont maximaux, mais il n'est pas artinien...

[martini_bird]

Z est noethérien et tous ces idéaux premiers sont maximaux

En fait non, j'ai compris: (0) est premier mais n'est pas maximal. C'était pourtant évident...

Merci quand même.