CNS Pour avoir un DSE ?

[Gpadide]

Bonjour, je connais les conditions necessaires pour qu'une fonction soit DSE ( qu'elle soit de classe Cinfini et que la serie de mac laurin ait un rayon non nul) mais les conditions suffisantes ca reste flou...Selon mon cours, il faut trouver un intervalle au moins, ou la série de mac laurin et la fonction coincident, mais comment fait on qd on a pas de formule générale pour la série de mac laurin ? Par exemple, on me dit qu'une fraction rationnelle est DSE de rayon égal au plus petit de ses poles : ca vient de quel théoreme ?
Merci pour vos aides
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[invite4ef352d8]

Salut !

si tu na aucune notion d'analyse complexe, il n'y a rien de plus a dire !!



en fait on peut trouver plein d'exemple un peu saugrenu de fonction Cinfinit dont la seri e Mac laurin converge vers une fonction differente de f !, la majorité ne vont pas s'exprimer simplement... il y a cependant un exemple typique : f(x) = exp(-1/x²)

en effet, on peut verifier que f est C infinit sur R, et que pour tous n, la derivé n-iemme de f en 0 est nul !

du coup la seri de maclaurin de f, est bien c'est 0, qui evidement converge, mais pas vers 0...




pour les fration rationel la demonstration est simples : on decompose en element simple, on montre que chacun des elements simples est DSE de rayon egal au modul de son pole (en donnant ce developement) du coup la fraction rationel a un DSE de rayon au moins egal au rayon de son plus petit pole !


en revanche en analyse complexe il y a des reponse beaucoup plus precise a cette question !

[martini_bird]

Salut,

le développement en série entière (il m'a fallu deux minutes pour comprendre ce que tu entendais par l'abrévation "DSE") se comprend mieux dans le cadre de l'analyse complexe : ce qui empêche une fonction d'être développable en série entière c'est la présence de singularités (les pôles par exemple).

Typiquement, une fonction admet un développement en série entière autour d'un point non singulier, tant qu'on ne rencontre pas un obstacle (une singularité, donc).

Le fait que la fonction admette un prolongement par continuité sur en 0 est trompeur, car 0 est un point singulier pour cette fonction si on la considère sur .

En fait, une fonction infiniment dérivable ou même simplement dérivable au sens complexe sur un ouvert de C admet un développement en série entière sur cet ouvert.

Mais pour ce qui te concerne, il faut considére que si ta fonction définie sur R est dérivable sur un ouvert (intervalle) de R, alors elle admet un développement en série entière autour de ce point dans un ouvert du plan complexe.

Je ne sais pas si j'ai été clair (je crois pas d'ailleurs ), mais d'autres viendront compléter ma réponse.

Cordialement.

EDIT : croisement avec Ksilver !

[Gpadide]

Salut !

si tu na aucune notion d'analyse complexe, il n'y a rien de plus a dire !!

Je ne pense pas avoir de notion d'analyse complexe, car on ne connait en prépa que les fonctions a valeurs dans C et non a variables complexes (je connais seulement l'approche par les Développements en série entiere en fait)

pour les fration rationel la demonstration est simples : on decompose en element simple, on montre que chacun des elements simples est DSE de rayon egal au modul de son pole (en donnant ce developement) du coup la fraction rationel a un DSE de rayon au moins egal au rayon de son plus petit pole !

Je suis justement dans un cas ou le polynome au dénominateur est de degré 2 a discriminant négatif réel. Je ne sais alors pas comment on donne la formule du Développement en série entiere (désolé pour l'abréviation )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

il faut decomposé la fraction en element simple dans C.

si tu a un discrimant negatif, tu peut quand meme factorisé ton polnyome (avec deux racines complexes) faire le DSE des fraction simples, regrouper les deux, et la normalement (si tu ne fais pas d'erreur de calcule) toute les parti imaginaire s'anule et tu retombe sur un DSE reel...