Demonstration d'une CNS de diagonalisabilité

[invite42abb461]

Bonjour,
je voudrais savoir si la démonstration que je propose ci dessous est valable :

je veux montrer que u diagonalisable = > E est somme directe des p SEP.

je prends x= x1 + ... + xp = 0 ou chaque xi appartient au sous espace propre correspondant. Supposons ces x_k non tous nuls.

En composant par u, j'obiens :



où les lambdas sont les valeurs propres associées (donc toutes distinctes ici). J'en déduis, les x_k formant une famille libre, que tous les lambdas sont nuls : contradiction car u n'est pas l'application nulle.

Les x_k sont donc tous nuls et la somme est directe...J'ai bon ?
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[invite9cf21bce]

Salut !

Bizarre ta démo. D'où sort le fait que tes x_k forment une famille libre ? Si tes x_k formaient une "famille libre", ou pourrait s'en servir dès le départ... (x=x₁+...+x_p=0, les x_k sont donc tous nuls).

Taar

[invite42abb461]

Des vecteurs propres associés a des valeurs propres toutes disctinctes ne forment ils pas toujours une famille libre ? C'est un théoreme du cours que l'on démontre par récurrence non ?

[invite57e5945e]

Dans ce genre de situation je conseille de faire la demonstration en deux morceaux

1) Demontrer que E est bien la somme des SEP
2) Demontrer que cette somme est directe

Pour verifier la justesse de ta demonstration considere l'endomorphisme associe a

Et verifie que le cas du SEP associe a la vp 1, de dimension 2 est bien pris en compte

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Salut,
ça se mélange les pinceaux là.
Par rapport à la démo. La remarque de Taar est très juste, j'y ajouterais qu'à aucun moment tu n'utilises réellement l'hypothèse (ça va de soi car le fait que les SEP soient en somme directe est toujours vrai).
Reprenons. Si tu veux montrer que u diagonalisable=>E=somme directe des SEP il vaut mieux partir de l'hypothèse (qui est très forte).
u diagonalisable signifie qu'il existe une base de vp (dont les valeurs propres associées ne sont pas nécessairement distinctes). A partir de cette base peut-on déterminer quelles sont les SEP ? On a dès le départ des bons candidats. Par exemple avec la matrice de Murzabov, on a E1=<e1,e2> et E2=<e3>. un vecteur propre est_il nécessairement e1, e2 ou e3 ? non donc il vaut mieux travailler avec des sev Ei qu'avec des vecteurs.
Maintenant ce qu'il reste à montrer est qu'il ne peut pas y avoir quelque chose d'aussi "folklorique" qu' un élément x=x1+x2+...+xm avec des xi non nuls appartenant à des Ei distincts avec m>1.

[invite42abb461]

Ok je laisse tomber ma démonstration mais la votre fait appel a des notations tres pénibles...

[inviteaf1870ed]

Par contre avec ton idée, tu peux démontrer qu'une famille de vecteurs associés chacun à une valeur propre distincte est toujours libre.

[invite42abb461]

oui ca je l'ai deja démontré par récurrence , mais justement je comptais m'en servir pour demontrer le théoreme du post.

[inviteaf1870ed]

Pas besoin de récurrence : tu appliques u à ta somme de vecteurs n fois, tu as un système de Vandermonde, donc tes vecteurs sont libres.