Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

[invite0fb7babf]

Bonjour a tous !
Lorsqu'on cherche une base de vecteur propre d'une matrice diagonalisable,
il arrive des fois, lorsqu'on est au moment de calculer les dimensions des different sous-espace propres E_u (associé a une valeur propre u), de tomber sur une equation
(partant de ce systeme :

M une matrice 3,3, X = (x, y, z) appartient R³, E_u = { X, (M - uI)(X) = 0 }

)
verifiant au final:

x + y + z = 0

Mon probleme donc, c'est comment savoir combien de vecteur propre peut on tirer ? J'ai souvent vu que la reponse etait seulement 2 :

(1, 0, -1) et (1, -1, 0)

pourquoi pas 3 ou 4 ... :

(1, 0, -1) et (1, -1, 0) et (0, 1, -1) et (0, -1, 1) etc ...

Jespere que me suis fais comprendre !
Merci de bien vouloir m'eclairer !
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[invitef16d06a2]

Bonjour a tous !
Lorsqu'on cherche une base de vecteur propre d'une matrice diagonalisable,
il arrive des fois, lorsqu'on est au moment de calculer les dimensions des different sous-espace propres E_u (associé a une valeur propre u), de tomber sur une equation
(partant de ce systeme :

M une matrice 3,3, X = (x, y, z) appartient R³, E_u = { X, (M - uI)(X) = 0 }

)
verifiant au final:

x + y + z = 0

Mon probleme donc, c'est comment savoir combien de vecteur propre peut on tirer ? J'ai souvent vu que la reponse etait seulement 2 :

(1, 0, -1) et (1, -1, 0)

pourquoi pas 3 ou 4 ... :

(1, 0, -1) et (1, -1, 0) et (0, 1, -1) et (0, -1, 1) etc ...

Jespere que me suis fais comprendre !
Merci de bien vouloir m'eclairer !

tu peux donner l'expression de ta matrice, pour les 2 vecteurs tu peux te reporter sur la démonstration que tu fait pour dire que tu as une famille libre et génératrice parfois tu obtiens la meme equation que la tienne x+y+z=0 et la aussi tu as 2 vecteurs mais donne la matrice

[FonKy-]

moi en principe je dis que
x=-y-z

donc x est généré de la maniere suivante:
(1, -1, 0) + (1, 0, -1) en somme directe

car en fait x dépend a la fois de y, puis z.
Donc tu t'occupe de y, c'est-a-dire que tu donne la valeur 0 à z, puis 1 à x, ou t'en déduis la valeur de y et donc du 1er vecteur, et il en va de meme pour le second.

Et si yen a seuleument que 2 c'est que ton équation est de dimension 2, c'est-a dire que comme tu l'a sans doute compris, x dépend de la valeur de y et celle de z, d'ou la dimension 2.

[invitef16d06a2]

moi en principe je dis que
x=-y-z

donc x est généré de la maniere suivante:
(1, -1, 0) + (1, 0, -1) en somme directe

car en fait x dépend a la fois de y, puis z.
Donc tu t'occupe de y, c'est-a-dire que tu donne la valeur 0 à z, puis 1 à x, ou t'en déduis la valeur de y et donc du 1er vecteur, et il en va de meme pour le second.

Et si yen a seuleument que 2 c'est que ton équation est de dimension 2, c'est-a dire que comme tu l'a sans doute compris, x dépend de la valeur de y et celle de z, d'ou la dimension 2.

bien vue pour la Dim 2 mais il peut avoir d'autres vecteurs propres tout dépend ce que tu exprimes en fonction de quoi

[A voir en vidéo sur Futura]

[FonKy-]

bien vue pour la Dim 2 mais il peut avoir d'autres vecteurs propres tout dépend ce que tu exprimes en fonction de quoi

tout a fait mais la je n'exprime pas des vecteur propres mais une base.
Mais cette base n'est evidement pas unique.

tu peux aussi dire: y=-x-z

d'ou ta nouvelle base de E_u:
(-1,1,0) +(0,1,-1) toujours en somme directe

et tu peux remarquer que ton vecteur (1, -1, 0), puis (1, 0, -1) sont combinaison linéaire des vecteur de notre derniere base.

[invitef16d06a2]

tout a fait mais la je n'exprime pas des vecteur propres mais une base.
Mais cette base n'est evidement pas unique.

tu peux aussi dire: y=-x-z

d'ou ta nouvelle base de E_u:
(-1,1,0) +(0,1,-1) toujours en somme directe

et tu peux remarquer que ton vecteur (1, -1, 0), puis (1, 0, -1) sont combinaison linéaire des vecteur de notre derniere base.

tout ca pour dire que c'est une famille liée

[FonKy-]

tout ca pour dire que c'est une famille liée

tu exageres la

[invitef16d06a2]

tu exageres la

la c'est moi qui est MDR, tu exprimes une variable en fonction des 2 autres et puis c'est l'impasse donc c'est un famille liée

[invite0fb7babf]

Hum Hum je crois comprendre.
quand on a le choix comme ici : x + y + z = 0
on doit seulement prendre una variable de references pour determiner les
vecteur propres (exemple x = ... OU y = ...)
Mais alors reprenons x = -z -y,
qu'est ce qui m'empeche d'en sortir 3 qui ne sont apparemment pas lié ... :
(1 -1 0) (1 0 -1) ET (0 -1 1)

[invitef16d06a2]

Hum Hum je crois comprendre.
quand on a le choix comme ici : x + y + z = 0
on doit seulement prendre una variable de references pour determiner les
vecteur propres (exemple x = ... OU y = ...)
Mais alors reprenons x = -z -y,
qu'est ce qui m'empeche d'en sortir 3 qui ne sont apparemment pas lié ... :
(1 -1 0) (1 0 -1) ET (0 -1 1)

si tu prend x = -z -y la valeur de x est impossé, fait le calcul et tu verras que tu as 2 possibilités

[FonKy-]

la c'est moi qui est MDR, tu exprimes une variable en fonction des 2 autres et puis c'est l'impasse donc c'est un famille liée

de
quoi
tu
parles
?

[invitec053041c]

Mais alors reprenons x = -z -y,
qu'est ce qui m'empeche d'en sortir 3 qui ne sont apparemment pas lié ... :
(1 -1 0) (1 0 -1) ET (0 -1 1)

Tu es dans un espace à 3 dimension.
{x+y+z=0|(x,y,z) de E^3} représente le noyau d'une forme linéaire de E^3. C'est par définition un espace de dimension (3-1)=2 (on reconnaissait l'équation d'un plan vectoriel de toutes les manières). Donc 2 vecteurs non liés suffisent.

Si ton sous espace était caractérise par:
x+y+z=0
x-y=0
Alors ce serait un espace de dimension (3-2)=1 (droite vectorielle)

[invite0fb7babf]

ok merci bien tout le monde je comprend mieux !

[FonKy-]

Hum Hum je crois comprendre.
quand on a le choix comme ici : x + y + z = 0
on doit seulement prendre una variable de references pour determiner les
vecteur propres (exemple x = ... OU y = ...)
Mais alors reprenons x = -z -y,
qu'est ce qui m'empeche d'en sortir 3 qui ne sont apparemment pas lié ... :
(1 -1 0) (1 0 -1) ET (0 -1 1)

mais .. tu cherche une base alors que cette famille de 3 vecteurs est liée. Faut pas chercher plus loin

[invitef16d06a2]

mais .. tu cherche une base alors que cette famille de 3 vecteurs est liée. Faut pas chercher plus loin

là tu as ta réponse a ta question

de
quoi
tu
parles
?

[inviteb2f5b6cd]

tout a fait mais la je n'exprime pas des vecteur propres mais une base.
Mais cette base n'est evidement pas unique.

tu peux aussi dire: y=-x-z

d'ou ta nouvelle base de E_u:
(-1,1,0) +(0,1,-1) toujours en somme directe

et tu peux remarquer que ton vecteur (1, -1, 0), puis (1, 0, -1) sont combinaison linéaire des vecteur de notre derniere base.

Bonsoir, j'ai le même problème. j'ai lu l'ensemble de la conversation mais je ne comprend toujours pas. j'ai obtenu x+y+z=0. je suis d'accord sur le fait de dire que y=-x-z. Mais je ne vois pas comment on peut donner (-1,1,0) +(0,1,-1)?? Autre question, là il s'agit de vecteurs propres calculés à partir d'un valeur propre. Exemple: j'ai une matrice, je calcule les valeurs propres Z₁, et Z₂ où Z₂ est de multiplicité 2 . Bien, ensuite vecteur propre calculé pour Z₁ (ça donne un vecteur). Même chose pour Z₂ , mais là, j'obtiens x+y+z=0 !!!

D'après ce que vous avez dit, j'en tire deux vecteurs propres (car dim 2 pour un plan). En alignant par colonne ces trois vecteurs, (1 pour Z₁ et 2 pour Z₂) , j'aurai une matrice de passage inversible exact ?
Merci