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Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre



  1. #1
    K-kOo

    Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre


    ------

    Bonjour a tous !
    Lorsqu'on cherche une base de vecteur propre d'une matrice diagonalisable,
    il arrive des fois, lorsqu'on est au moment de calculer les dimensions des different sous-espace propres Eu (associé a une valeur propre u), de tomber sur une equation
    (partant de ce systeme :
    M une matrice 3,3, X = (x, y, z) appartient R3, Eu = { X, (M - uI)(X) = 0 }
    )
    verifiant au final:
    x + y + z = 0
    Mon probleme donc, c'est comment savoir combien de vecteur propre peut on tirer ? J'ai souvent vu que la reponse etait seulement 2 :
    (1, 0, -1) et (1, -1, 0)
    pourquoi pas 3 ou 4 ... :
    (1, 0, -1) et (1, -1, 0) et (0, 1, -1) et (0, -1, 1) etc ...
    Jespere que me suis fais comprendre !
    Merci de bien vouloir m'eclairer !

    -----

  2. #2
    labostyle

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par K-kOo Voir le message
    Bonjour a tous !
    Lorsqu'on cherche une base de vecteur propre d'une matrice diagonalisable,
    il arrive des fois, lorsqu'on est au moment de calculer les dimensions des different sous-espace propres Eu (associé a une valeur propre u), de tomber sur une equation
    (partant de ce systeme :
    M une matrice 3,3, X = (x, y, z) appartient R3, Eu = { X, (M - uI)(X) = 0 }
    )
    verifiant au final:
    x + y + z = 0
    Mon probleme donc, c'est comment savoir combien de vecteur propre peut on tirer ? J'ai souvent vu que la reponse etait seulement 2 :
    (1, 0, -1) et (1, -1, 0)
    pourquoi pas 3 ou 4 ... :
    (1, 0, -1) et (1, -1, 0) et (0, 1, -1) et (0, -1, 1) etc ...
    Jespere que me suis fais comprendre !
    Merci de bien vouloir m'eclairer !
    tu peux donner l'expression de ta matrice, pour les 2 vecteurs tu peux te reporter sur la démonstration que tu fait pour dire que tu as une famille libre et génératrice parfois tu obtiens la meme equation que la tienne x+y+z=0 et la aussi tu as 2 vecteurs mais donne la matrice

  3. #3
    FonKy-

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    moi en principe je dis que
    x=-y-z

    donc x est généré de la maniere suivante:
    (1, -1, 0) + (1, 0, -1) en somme directe

    car en fait x dépend a la fois de y, puis z.
    Donc tu t'occupe de y, c'est-a-dire que tu donne la valeur 0 à z, puis 1 à x, ou t'en déduis la valeur de y et donc du 1er vecteur, et il en va de meme pour le second.

    Et si yen a seuleument que 2 c'est que ton équation est de dimension 2, c'est-a dire que comme tu l'a sans doute compris, x dépend de la valeur de y et celle de z, d'ou la dimension 2.

  4. #4
    labostyle

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    moi en principe je dis que
    x=-y-z

    donc x est généré de la maniere suivante:
    (1, -1, 0) + (1, 0, -1) en somme directe

    car en fait x dépend a la fois de y, puis z.
    Donc tu t'occupe de y, c'est-a-dire que tu donne la valeur 0 à z, puis 1 à x, ou t'en déduis la valeur de y et donc du 1er vecteur, et il en va de meme pour le second.

    Et si yen a seuleument que 2 c'est que ton équation est de dimension 2, c'est-a dire que comme tu l'a sans doute compris, x dépend de la valeur de y et celle de z, d'ou la dimension 2.
    bien vue pour la Dim 2 mais il peut avoir d'autres vecteurs propres tout dépend ce que tu exprimes en fonction de quoi

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    FonKy-

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par labostyle Voir le message
    bien vue pour la Dim 2 mais il peut avoir d'autres vecteurs propres tout dépend ce que tu exprimes en fonction de quoi
    tout a fait mais la je n'exprime pas des vecteur propres mais une base.
    Mais cette base n'est evidement pas unique.

    tu peux aussi dire: y=-x-z

    d'ou ta nouvelle base de Eu:
    (-1,1,0) +(0,1,-1) toujours en somme directe

    et tu peux remarquer que ton vecteur (1, -1, 0), puis (1, 0, -1) sont combinaison linéaire des vecteur de notre derniere base.

  7. #6
    labostyle

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    tout a fait mais la je n'exprime pas des vecteur propres mais une base.
    Mais cette base n'est evidement pas unique.

    tu peux aussi dire: y=-x-z

    d'ou ta nouvelle base de Eu:
    (-1,1,0) +(0,1,-1) toujours en somme directe

    et tu peux remarquer que ton vecteur (1, -1, 0), puis (1, 0, -1) sont combinaison linéaire des vecteur de notre derniere base.
    tout ca pour dire que c'est une famille liée

  8. #7
    FonKy-

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par labostyle Voir le message
    tout ca pour dire que c'est une famille liée
    tu exageres la

  9. #8
    labostyle

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    tu exageres la
    la c'est moi qui est MDR, tu exprimes une variable en fonction des 2 autres et puis c'est l'impasse donc c'est un famille liée

  10. #9
    K-kOo

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Hum Hum je crois comprendre.
    quand on a le choix comme ici : x + y + z = 0
    on doit seulement prendre una variable de references pour determiner les
    vecteur propres (exemple x = ... OU y = ...)
    Mais alors reprenons x = -z -y,
    qu'est ce qui m'empeche d'en sortir 3 qui ne sont apparemment pas lié ... :
    (1 -1 0) (1 0 -1) ET (0 -1 1)

  11. #10
    labostyle

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par K-kOo Voir le message
    Hum Hum je crois comprendre.
    quand on a le choix comme ici : x + y + z = 0
    on doit seulement prendre una variable de references pour determiner les
    vecteur propres (exemple x = ... OU y = ...)
    Mais alors reprenons x = -z -y,
    qu'est ce qui m'empeche d'en sortir 3 qui ne sont apparemment pas lié ... :
    (1 -1 0) (1 0 -1) ET (0 -1 1)
    si tu prend x = -z -y la valeur de x est impossé, fait le calcul et tu verras que tu as 2 possibilités

  12. #11
    FonKy-

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par labostyle Voir le message
    la c'est moi qui est MDR, tu exprimes une variable en fonction des 2 autres et puis c'est l'impasse donc c'est un famille liée
    de
    quoi
    tu
    parles
    ?


  13. #12
    Ledescat

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par K-kOo Voir le message
    Mais alors reprenons x = -z -y,
    qu'est ce qui m'empeche d'en sortir 3 qui ne sont apparemment pas lié ... :
    (1 -1 0) (1 0 -1) ET (0 -1 1)
    Tu es dans un espace à 3 dimension.
    {x+y+z=0|(x,y,z) de E^3} représente le noyau d'une forme linéaire de E^3. C'est par définition un espace de dimension (3-1)=2 (on reconnaissait l'équation d'un plan vectoriel de toutes les manières). Donc 2 vecteurs non liés suffisent.

    Si ton sous espace était caractérise par:
    x+y+z=0
    x-y=0
    Alors ce serait un espace de dimension (3-2)=1 (droite vectorielle)
    Cogito ergo sum.

  14. #13
    K-kOo

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    ok merci bien tout le monde je comprend mieux !

  15. #14
    FonKy-

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par K-kOo Voir le message
    Hum Hum je crois comprendre.
    quand on a le choix comme ici : x + y + z = 0
    on doit seulement prendre una variable de references pour determiner les
    vecteur propres (exemple x = ... OU y = ...)
    Mais alors reprenons x = -z -y,
    qu'est ce qui m'empeche d'en sortir 3 qui ne sont apparemment pas lié ... :
    (1 -1 0) (1 0 -1) ET (0 -1 1)
    mais .. tu cherche une base alors que cette famille de 3 vecteurs est liée. Faut pas chercher plus loin

  16. #15
    labostyle

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    mais .. tu cherche une base alors que cette famille de 3 vecteurs est liée. Faut pas chercher plus loin
    là tu as ta réponse a ta question

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    de
    quoi
    tu
    parles
    ?

  17. #16
    bbob

    Re : Matrice, diagonalisabilité et vecteur propre

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    tout a fait mais la je n'exprime pas des vecteur propres mais une base.
    Mais cette base n'est evidement pas unique.

    tu peux aussi dire: y=-x-z

    d'ou ta nouvelle base de Eu:
    (-1,1,0) +(0,1,-1) toujours en somme directe

    et tu peux remarquer que ton vecteur (1, -1, 0), puis (1, 0, -1) sont combinaison linéaire des vecteur de notre derniere base.
    Bonsoir, j'ai le même problème. j'ai lu l'ensemble de la conversation mais je ne comprend toujours pas. j'ai obtenu x+y+z=0. je suis d'accord sur le fait de dire que y=-x-z. Mais je ne vois pas comment on peut donner (-1,1,0) +(0,1,-1)?? Autre question, là il s'agit de vecteurs propres calculés à partir d'un valeur propre. Exemple: j'ai une matrice, je calcule les valeurs propres Z1, et Z2 où Z2 est de multiplicité 2 . Bien, ensuite vecteur propre calculé pour Z1 (ça donne un vecteur). Même chose pour Z2 , mais là, j'obtiens x+y+z=0 !!!

    D'après ce que vous avez dit, j'en tire deux vecteurs propres (car dim 2 pour un plan). En alignant par colonne ces trois vecteurs, (1 pour Z1 et 2 pour Z2) , j'aurai une matrice de passage inversible exact ?
    Merci

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