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exercice espace vectoriel



  1. #1
    369

    exercice espace vectoriel


    ------

    bonjour,
    j'aurai besoin d'aide pour la deuxième question de cet exercice

    dans l'espace vectoriel R3 on considère le sous espace vectoriel H engendré par les vecteurs e1=(1,0,-1,0), e2=(2,1,-4,1), e3=(1,-1,0,0) et e4=(3,-4,2,-1)

    a) la famille {e1,e2,e3,e4} est elle libre?
    Là pas de problème j'ai dit que oui

    b) déterminer une famille libre et génératrice de H
    voilà là j'ai un problème, j'essaye de montrer que la famille {e1,e2,e3,e4} est génératrice mais je n'arrive pas à résoudre e système pour trouver les coefficients de la combinaison linéaire

    j'espère que vous pourrez m'aider
    merci

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : exercice espace vectoriel

    Citation Envoyé par 369 Voir le message
    a) la famille {e1,e2,e3,e4} est elle libre?
    Là pas de problème j'ai dit que oui
    En es-tu certain ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    369

    Re : exercice espace vectoriel

    oui c'est ce que j'ai trouvé

  4. #4
    God's Breath

    Re : exercice espace vectoriel

    Personnellement je trouve que cette famille est liée, ce qui explique tes difficultés à résoudre le système dans la question b.

    Sauf erreur, on a:
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    369

    Re : exercice espace vectoriel

    en faite moi je l'ai fait par la définition d'une famille libre, j'ai résolu le système pour trouver les coefficients et je les ai trouvé égaux à 0

  7. #6
    God's Breath

    Re : exercice espace vectoriel

    Tu as donc fait une erreur dans la résolution du système.
    Il y a d'autres valeurs possibles pour les coefficients.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    369

    Re : exercice espace vectoriel

    oui tu as raison je me trompé

    au faite quand est ce qu'on peut dire qu'un système admet une infinité de solution et qu'un système n'admet pas de solution?

  9. #8
    369

    Re : exercice espace vectoriel

    finalement comme famille libre et génératrice j'ai pris la base canonique de R^4

  10. #9
    God's Breath

    Re : exercice espace vectoriel

    M'enfin !!

    Le sous-espace H est engendré par une famille de 4 vecteurs qui est liée : sa dimension est au plus 3, et une famille libre et génératrice de H est constituée d'au plus 3 vecteurs.

    Tu dois extraire de la famille génératrice (e1,e2,e3,e4) de H une sous-famille libre, et toujours génératrice de H.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #10
    369

    Re : exercice espace vectoriel

    je n'ai jamais vu les dimensions et tous ca.
    puis je voulais dire la base canonique de R^3. pourquoi c'est pas bon? elle génère H

  12. #11
    369

    Re : exercice espace vectoriel

    bon finalement j'ai fini par comprendre

    mais j'ai un problème avec la suite de l'exo:
    c) soit f l'endomorphisme de R4 qui à tout vecteur u=(x,y,z,t) de R4 associe le vecteur u'=(x',y',z',t') de R4 tel que
    x'=y+z
    y'=z+t
    z'=t+x
    t'=x+y

    Trouver une base de ker f et un système d'équations (au sens précédent) déterminant Imf

    j'ai réussit le kerf, l'autre partie avec Imf je ne vois pas comment commencer

    d) on pose F={u=(x,y,z,t) dans R5: x=y=z=t} de R4. Trouver une base B de l'espace vectoriel F et donner sa dimension:

    voici ce que j'ai fait:
    soit u=(x,y,z,t) appartenant à R4
    par définition de F u=(x,y,z,t)=(x,x,x,x)=x(1,1,1, 1)
    posons v=(1,1,1,1)
    Est ce que je peux dire que F est une droite vectoriel généré par v
    sinon dans la suite j'ai mis: B={v}
    dimB=1




    qu'en pensez vous?

  13. #12
    369

    Re : exercice espace vectoriel

    quelqu'un pourrait il m'aider pour le Imf

    de plus dans la suite on me demande de montrer que A U B est une base de R3 avec A base de H
    je ne vois pas comment faire

  14. #13
    God's Breath

    Re : exercice espace vectoriel

    Citation Envoyé par 369 Voir le message
    Trouver une base de ker f et un système d'équations (au sens précédent) déterminant Imf
    Que veut dire « au sens précédent » ?

    Citation Envoyé par 369 Voir le message
    Est ce que je peux dire que F est une droite vectoriel généré par v
    sinon dans la suite j'ai mis: B={v}
    dimB=1
    Oui, c'est exactement ce qu'il faut faire.
    Dernière modification par God's Breath ; 12/02/2011 à 20h12.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  15. #14
    God's Breath

    Re : exercice espace vectoriel

    Citation Envoyé par 369 Voir le message
    on me demande de montrer que A U B est une base de R3 avec A base de H
    Normalement, tu as dû trouver une base de H constituée de trois vecteurs de H, c'est-à-dire quelque chose de la forme A=(u1,u2,u3).
    Tu as B=(v).
    Tu dois donc prouver que (u1,u2,u3,v) est une base de R4.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  16. #15
    369

    Re : exercice espace vectoriel

    l'expression "au sens précédent" veut dire comme le système que génère f

  17. #16
    God's Breath

    Re : exercice espace vectoriel

    Citation Envoyé par 369 Voir le message
    c) soit f l'endomorphisme de R4 qui à tout vecteur u=(x,y,z,t) de R4 associe le vecteur u'=(x',y',z',t') de R4 tel que
    x'=y+z
    y'=z+t
    z'=t+x
    t'=x+y

    Trouver une base de ker f et un système d'équations (au sens précédent) déterminant Imf
    Il te faut résoudre le système :



    puisque Imf est l'ensemble des tels que ce système admette des solutions.

    Tu vas donc obtenir des conditions sur pour qu'il y ait des solutions, et ces conditions sont les équations de Imf.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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