exercice espace vectoriel

[invite371ae0af]

bonjour,
j'aurai besoin d'aide pour la deuxième question de cet exercice

dans l'espace vectoriel R³ on considère le sous espace vectoriel H engendré par les vecteurs e1=(1,0,-1,0), e2=(2,1,-4,1), e3=(1,-1,0,0) et e4=(3,-4,2,-1)

a) la famille {e1,e2,e3,e4} est elle libre?
Là pas de problème j'ai dit que oui

b) déterminer une famille libre et génératrice de H
voilà là j'ai un problème, j'essaye de montrer que la famille {e1,e2,e3,e4} est génératrice mais je n'arrive pas à résoudre e système pour trouver les coefficients de la combinaison linéaire

j'espère que vous pourrez m'aider
merci
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[invite57a1e779]

a) la famille {e1,e2,e3,e4} est elle libre?
Là pas de problème j'ai dit que oui

En es-tu certain ?

[invite371ae0af]

oui c'est ce que j'ai trouvé

[invite57a1e779]

Personnellement je trouve que cette famille est liée, ce qui explique tes difficultés à résoudre le système dans la question b.

Sauf erreur, on a:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

en faite moi je l'ai fait par la définition d'une famille libre, j'ai résolu le système pour trouver les coefficients et je les ai trouvé égaux à 0

[invite57a1e779]

Tu as donc fait une erreur dans la résolution du système.
Il y a d'autres valeurs possibles pour les coefficients.

[invite371ae0af]

oui tu as raison je me trompé

au faite quand est ce qu'on peut dire qu'un système admet une infinité de solution et qu'un système n'admet pas de solution?

[invite371ae0af]

finalement comme famille libre et génératrice j'ai pris la base canonique de R^4

[invite57a1e779]

M'enfin !!

Le sous-espace H est engendré par une famille de 4 vecteurs qui est liée : sa dimension est au plus 3, et une famille libre et génératrice de H est constituée d'au plus 3 vecteurs.

Tu dois extraire de la famille génératrice (e1,e2,e3,e4) de H une sous-famille libre, et toujours génératrice de H.

[invite371ae0af]

je n'ai jamais vu les dimensions et tous ca.
puis je voulais dire la base canonique de R^3. pourquoi c'est pas bon? elle génère H

[invite371ae0af]

bon finalement j'ai fini par comprendre

mais j'ai un problème avec la suite de l'exo:
c) soit f l'endomorphisme de R⁴ qui à tout vecteur u=(x,y,z,t) de R⁴ associe le vecteur u'=(x',y',z',t') de R⁴ tel que
x'=y+z
y'=z+t
z'=t+x
t'=x+y

Trouver une base de ker f et un système d'équations (au sens précédent) déterminant Imf

j'ai réussit le kerf, l'autre partie avec Imf je ne vois pas comment commencer

d) on pose F={u=(x,y,z,t) dans R⁵: x=y=z=t} de R⁴. Trouver une base B de l'espace vectoriel F et donner sa dimension:

voici ce que j'ai fait:
soit u=(x,y,z,t) appartenant à R⁴
par définition de F u=(x,y,z,t)=(x,x,x,x)=x(1,1,1, 1)
posons v=(1,1,1,1)
Est ce que je peux dire que F est une droite vectoriel généré par v
sinon dans la suite j'ai mis: B={v}
dimB=1




qu'en pensez vous?

[invite371ae0af]

quelqu'un pourrait il m'aider pour le Imf

de plus dans la suite on me demande de montrer que A U B est une base de R³ avec A base de H
je ne vois pas comment faire

[invite57a1e779]

Trouver une base de ker f et un système d'équations (au sens précédent) déterminant Imf

Que veut dire « au sens précédent » ?

Est ce que je peux dire que F est une droite vectoriel généré par v
sinon dans la suite j'ai mis: B={v}
dimB=1

Oui, c'est exactement ce qu'il faut faire.

[invite57a1e779]

on me demande de montrer que A U B est une base de R³ avec A base de H

Normalement, tu as dû trouver une base de H constituée de trois vecteurs de H, c'est-à-dire quelque chose de la forme A=(u₁,u₂,u₃).
Tu as B=(v).
Tu dois donc prouver que (u₁,u₂,u₃,v) est une base de R⁴.

[invite371ae0af]

l'expression "au sens précédent" veut dire comme le système que génère f

[invite57a1e779]

c) soit f l'endomorphisme de R⁴ qui à tout vecteur u=(x,y,z,t) de R⁴ associe le vecteur u'=(x',y',z',t') de R⁴ tel que
x'=y+z
y'=z+t
z'=t+x
t'=x+y

Trouver une base de ker f et un système d'équations (au sens précédent) déterminant Imf

Il te faut résoudre le système :



puisque Imf est l'ensemble des tels que ce système admette des solutions.

Tu vas donc obtenir des conditions sur pour qu'il y ait des solutions, et ces conditions sont les équations de Imf.