Exercice: Espace vectoriel

[invitec053041c]

Bonjour, alors j'ai un exercice qui ne doit pas être bien difficile, mais à priori dire je me retrouve face à des résultats...curieux. (je n'ai pas encore vu les matrices, bientôt)
Arrêtez-moi là où ca va plus
alors:

E un R-ev de dimension 3, B=(i,j,k) une base de E et u l'endomorphisme de E défini par:


1/soient (x,y,z) les coordonnées d'un vecteur u de E dans B.Exprimer les coordonnées (x',y',z') de u(v) dans B.

Alors:

2/Déterminer le noyau de u, en donner une base.

Je cherche {(x,y,z)| u(x,y,z)=(0,0,0)}
Je résouds donc:


Et je trouve donc Keru={(0,0,0)}


Là ça se "complique":

Déterminer l'ensemble F des vecteurs v de E tq u(v)=2v et montrer que F est un sev de dimension 1, en donner une base

Je cherche donc {(x,y,z)|u(x,y,z)=(2x,2y,2z)}
Je résouds:

Et là aussi je trouve (0,0,0), qui n'est pas un sev de dimension 1!

de même pour la question d'après:

Déterminer l'ensemble G des vecteurs v de E tq u(v)=-2v.Montrer que G est une droite vectorielle, en donner une base.

En résolvant:

Je trouve aussi (0,0,0) ...

Si vous pouviez m'aider, merci beaucoup d'avance!
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[invite9c9b9968]

Je cherche {(x,y,z)| u(x,y,z)=(0,0,0)}

Jusque là, ça va

Je résouds donc:


Et je trouve donc Keru={(0,0,0)}

Là ça ne va plus

Il faudrait que tu nous détailles ton calcul, pour que l'on te dises où tu t'es trompé(e).

[inviteaf1870ed]

Tu as fait une erreur de calcul pour le noyau. Regarde l'image du vecteur (1,-1,rac(2))

[invitec053041c]

je me suis mis en tete qu'un système 3eq 3inconnues admet une solution...
Mmmmmm,mon déterminant est nul,diantre!
En combinant lineairement je devrais trouver qqchose de bien...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Même pas besoin de combiner linéairement, tu as l'équation de ta droite très facilement

[invitec053041c]

Donc pour le ker,j'ai:

Je paramètre:
qui me définit une droite.
Et pour la base j'écris que tout vecteur v de mon ensemble s'écrit .
Celà suffit-il pour dire que constitue une base?

[invite9c9b9968]

C'est gagné

Au passage, inutile de passer par l'intermédiaire t, c'est superflu.

[invitec053041c]

Oui me suffisait de prendre 2 plans au pif, mais c'était pour m'aider à trouver une base
En tout cas mille mercis pour cette aide !

[invitec053041c]

Pour montrer que la somme directe de 3 droites vectorielles donne tout l'espace de dimension 3, suffit-il de dire que le déterminant des 3 vecteurs directeurs de ces droites est non nul?
Y a-t-il une généralisation?
Merci

[taladris]

Salut!

Ce que tu dis est vrai: c'est même une condition nécessaire et suffisante.

Cela se généralise aisément: n sous-espaces d'un ev de dimension n sont supplémentaires si et seulement si le déterminant formé par n vecteurs de base est non nul.

Et plus généralement encore: Soit E un espace vectoriel et F et G deux sous espaces de base respectives B_F et B_G. F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si est une base de E

Bonne journée

PS: en tout cas c'est vrai en dimension finie. Pour un espace de dimension infinie, j'en ai aucune idée

[invitec053041c]

Merci beaucoup taladris!