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Exercice: Espace vectoriel



  1. #1
    Ledescat

    Exercice: Espace vectoriel


    ------

    Bonjour, alors j'ai un exercice qui ne doit pas être bien difficile, mais à priori dire je me retrouve face à des résultats...curieux. (je n'ai pas encore vu les matrices, bientôt)
    Arrêtez-moi là où ca va plus
    alors:

    E un R-ev de dimension 3, B=(i,j,k) une base de E et u l'endomorphisme de E défini par:


    1/soient (x,y,z) les coordonnées d'un vecteur u de E dans B.Exprimer les coordonnées (x',y',z') de u(v) dans B.
    Alors:


    2/Déterminer le noyau de u, en donner une base.
    Je cherche {(x,y,z)| u(x,y,z)=(0,0,0)}
    Je résouds donc:


    Et je trouve donc Keru={(0,0,0)}


    Là ça se "complique":
    Déterminer l'ensemble F des vecteurs v de E tq u(v)=2v et montrer que F est un sev de dimension 1, en donner une base
    Je cherche donc {(x,y,z)|u(x,y,z)=(2x,2y,2z)}
    Je résouds:

    Et là aussi je trouve (0,0,0), qui n'est pas un sev de dimension 1!

    de même pour la question d'après:
    Déterminer l'ensemble G des vecteurs v de E tq u(v)=-2v.Montrer que G est une droite vectorielle, en donner une base.
    En résolvant:

    Je trouve aussi (0,0,0) ...

    Si vous pouviez m'aider, merci beaucoup d'avance!

    -----
    Cogito ergo sum.

  2. #2
    Gwyddon

    Re : Exercice: Espace vectoriel

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message



    Je cherche {(x,y,z)| u(x,y,z)=(0,0,0)}
    Jusque là, ça va

    Je résouds donc:


    Et je trouve donc Keru={(0,0,0)}
    Là ça ne va plus

    Il faudrait que tu nous détailles ton calcul, pour que l'on te dises où tu t'es trompé(e).
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  3. #3
    ericcc

    Re : Exercice: Espace vectoriel

    Tu as fait une erreur de calcul pour le noyau. Regarde l'image du vecteur (1,-1,rac(2))

  4. #4
    Ledescat

    Re : Exercice: Espace vectoriel

    je me suis mis en tete qu'un système 3eq 3inconnues admet une solution...
    Mmmmmm,mon déterminant est nul,diantre!
    En combinant lineairement je devrais trouver qqchose de bien...
    Cogito ergo sum.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Gwyddon

    Re : Exercice: Espace vectoriel

    Même pas besoin de combiner linéairement, tu as l'équation de ta droite très facilement
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. #6
    Ledescat

    Re : Exercice: Espace vectoriel

    Donc pour le ker,j'ai:

    Je paramètre:
    qui me définit une droite.
    Et pour la base j'écris que tout vecteur v de mon ensemble s'écrit .
    Celà suffit-il pour dire que constitue une base?
    Cogito ergo sum.

  8. #7
    Gwyddon

    Re : Exercice: Espace vectoriel

    C'est gagné

    Au passage, inutile de passer par l'intermédiaire t, c'est superflu.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. #8
    Ledescat

    Re : Exercice: Espace vectoriel

    Oui me suffisait de prendre 2 plans au pif, mais c'était pour m'aider à trouver une base
    En tout cas mille mercis pour cette aide !
    Cogito ergo sum.

  10. #9
    Ledescat

    Re : Exercice: Espace vectoriel

    Pour montrer que la somme directe de 3 droites vectorielles donne tout l'espace de dimension 3, suffit-il de dire que le déterminant des 3 vecteurs directeurs de ces droites est non nul?
    Y a-t-il une généralisation?
    Merci
    Cogito ergo sum.

  11. #10
    taladris

    Re : Exercice: Espace vectoriel

    Salut!

    Ce que tu dis est vrai: c'est même une condition nécessaire et suffisante.

    Cela se généralise aisément: n sous-espaces d'un ev de dimension n sont supplémentaires si et seulement si le déterminant formé par n vecteurs de base est non nul.

    Et plus généralement encore: Soit E un espace vectoriel et F et G deux sous espaces de base respectives BF et BG. F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si est une base de E

    Bonne journée

    PS: en tout cas c'est vrai en dimension finie. Pour un espace de dimension infinie, j'en ai aucune idée

  12. #11
    Ledescat

    Re : Exercice: Espace vectoriel

    Merci beaucoup taladris!
    Cogito ergo sum.

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