valeur et vecteur propre

[invite38ed162a]

bonjour,
pourriez vous m'aidez à comprendre une notion, s'il vous plait?
en fait, je ne coprends pas bien la notion de multiplicité géométrique et algébrique. Pourriez vous me donner une exemple?
merci d'avance
cuicui
-----

[invite9c8661be]

salut cuicui!
Je ne comprends pas trop ta question:veux tu avoir une traduction géométrique de ce qui concerne les valeurs/vecteurs propres?
Si oui ,voila un exemple en dimension 2:


avec r et s ,2 vecteurs propres dont les valeurs propres associées sont:
1-négative pour r
2-positive pour s

A.r = l1.r , l1<0
A.s = l2.s, l2>0

A dimension 2x2
@+

[invitec81e728d]

salut

la multiplicité géométrique (comme son nom l'indique) est de nature géométrique: elle t'indique la dimension de l'espace propre associé à une valeur propre.

la multiplicité algébrique (comme son nom l'indique) est de nature algébrique...

elle te dit le rang d'une valeur propre en tant que zéro du polynôme caractéristique. On montre par ailleurs que la la géométrique est au plus égale à l'algébrique. Dans le cas d'une matrice diagonalisable, elles coincident évidemment.

en revanche, si tu as une matrice non-diagonalisable, la dimension de l'espace propre pourra être inférieure à l'ordre de la valeur propre associée comme zéro du polynôme caractéristique.

si tu veux un exemple, regarde la matrice

A = ( -3 5 -5 )
( 3 -1 3 )
( 8 -8 10 )

et si tu veux voir"l'intêret appliqué" de ça, cherche les solutions de l'équation différentielle dV/dx = A V où V est un vecteur 3D.

si tu veux plus d'infos, renseigne-toi sur la décomposition de Jordan (autre mot-clé matrice de Jordan nilpotente) et/ou sur les espaces-propres cycliques (je te donne pas plus de détaisl ne sachant pas ton niveau).