Un peu de geometrie

[invite43e5b142]

Bonjour,

Pourriez vous m'aider à resoudre cette énoncé ?

Ensemble des points du plan, à égale distance des deux cercles passant par O et centrés en (a ; 0) et (b ; 0) avec 0 < a < b.

Merci
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[invite9cf21bce]

Salut !

Commence par chercher les points qui sont à l'extérieur du grand cercle. Tu peux facilement exprimer les distances aux cercles à partir des distances aux centres.

Taar.

[invite43e5b142]

Ok, je peux ecrire (A centre de C1,B de C2)

d(M,C1)=|d(A,M)-a|
d(M,C2)=|d(B,M)-b|

et egaliser,mais l'equation obtenue me semble difficile à simplifier.

[invite9cf21bce]

C'est pour ça qu'il vaut mieux distinguer trois zones.

Extérieur de tout.
Intérieur d'un cercle, pas de l'autre.
Intérieur de tout.

Seule la deuxième zone est "non triviale".

Taar.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Ok, je peux ecrire (A centre de C1,B de C2)

d(M,C1)=|d(A,M)-a|
d(M,C2)=|d(B,M)-b|

et egaliser,mais l'equation obtenue me semble difficile à simplifier.

Ouchh, en effet ce n'est pas simple. J'ai une équation polynomiale affreuse en x et en y de degré 4 .
Peut-être que ça marcherait mieux en polaire, mais un cercle qui ne passe pas par 0 c'est l'horreur...donc là!
Je vais y réfléchir un peu.

[invite43e5b142]

C'est pour ça qu'il vaut mieux distinguer trois zones.

Extérieur de tout.
Intérieur d'un cercle, pas de l'autre.
Intérieur de tout.

Seule la deuxième zone est "non triviale".

Taar.

Pour la première, je suppose qu'on trouve l'axe Ox pour x<0 mais je ne vois pas du tout comment le prouver par le calcul.

Conjecture pour la deuxieme : cercle de centre 2a-b passant par 0 mais la encore je ne vois pas comment le trouver.

[invite43e5b142]

Bon pour la premiere zone

1er cas :M(-p,0) p>0

d(M,C1)=d(M,0)=d(M,C2)=p

2e cas: M appartient au plan privé des deux cercles et du cas precedent

d(M,C2)=d(M,C1)+C constante non nul

(je pense qu'on peut l'ecrire plus joliment)

Deuxieme zone : conjecture : cercle de centre 2a-b passant par 0 preuve?

Troisieme zone: comme la premiere mais M appartient à [O,a]

J'ai bon ?

[invite35452583]

Pour la deuxième zone : non.
Pour la 1ère zone pas besoin de calcul : d(M,Ca)=MI où I est l'intersection de la demi-droite [AM) et du cercle (A le centre du cercle). Le cercle Cb coupe cette demi-droite car A est intérieur en J. J est à l'extérieur ou sur Ca. Ona en ordre d'alignement M,J,I,A d(M,Cb)<=MJ et MJ<=MI. Or, pour que d(M,Cb)=d(M,Ca) il faut que MI=d(M,Ca)=d(M,Cb)<=MJ. On a donc MI=MJ et par conséquent I=J, or les deux cercles n'ont qu'un point d'intersection O donc I=J=O et on en déduit que M est sur la demi-droite porté par (Ox) issue de O ne contenant pas A.
Même réflexion par rapport au 3ème cas.

Pour la deuxième zone. Soit I le point d'intersection de [AM] et de Ca et J le point d'intersection de [BM) et de Cb. J est extérieur au segment [BM] car B et M sont intérieurs à Cb. On a AM=AI+IM et BM=BJ-MJ, IM=d(M,Ca)=d(M,Cb)=MJ.
Je laisse la conclusion en plan (le lieu obtenu n'est pas un cercle).
Remarque, on connaît les deux points de l'axe (Ox) avec le lieu des points M, on a O et un point de coordonnées a+b (situé à une distance=b-a des deux cercles), le centre I d'un cercle aurait pour coordonnées (a+b)/2 et non 2a-b (dont on n'est même pas sûr de la positivité).
Ce point I est tout de même centre du lieu recherché.

[invite43e5b142]

Merci pour ces precisions

Le lieu recherché (deuxieme zone)

MA+MB=a+b donc une ellipse de foyer A et B de demi grand axe (a+b)/2
de demi petit axe racine de 2ab ?

je suis pas sur pour le demi petit axe

[invite43e5b142]

Plutot racine de ab pour le demi petit axe en fait

Quelqu'un peut-il confirmer ma reponse ?

[invite35452583]

Merci pour ces precisions

Le lieu recherché (deuxieme zone)

MA+MB=a+b donc une ellipse de foyer A et B de demi grand axe (a+b)/2
de demi petit axe racine de 2ab ?

je suis pas sur pour le demi petit axe

Oui, avec la correction du post suivant pour le demi petit axe. (racine de ab)

[invite43e5b142]

Merci beaucoup