Fonction zêta : j'ai honte !!!!

[inviteb7bc207b]

Bonjour,

J'ai lu un article dans La Recherche ce mois ci sur l'hypothèse de Riemann. Il est écrit que les zéros trivaux de la fonction zêta sont -2, -4, -6 etc...

avec:
zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ....



J'ai honte parce que je ne vois pas du tout ces zéros triviaux!!!!
par exemple:

zeta(-2) = 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ....

ça ne donne pas zéro.

Alors svp où est mon erreur ??????
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[inviteca3a9be7]

Salut,

Tout est dit là :
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

[inviteb7bc207b]

Oui mais ça m'énerve. Sur ce lien comme sur d'autres que j'ai vus ils disent tous que c'est trivial.

Mais je ne vois toujours pas comment zeta(-2) peut être nul

[invitebbdbf477]

Bonjour, l'expression

n'est bien entendu valable que lorsque cette série est convergente, ce qui n'est pas le cas pour réel négatif ! Cette formule n'est pas valable que pour les complexes de partie réelle strictement supérieure à un, elle n'aurait aucun sens.

Mais on peut montrer que cette fonction admet un prolongement analytique à et c'est la fonction analytique définie sur tout ce domaine qu'on appelle fonction , et qui possède les zéros que tu évoques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7bc207b]

AHhhhh! Merci phénomène. C'est plus clair maintenant.

[invitebbdbf477]

Cette formule n'est pas valable que pour les complexes de partie réelle strictement supérieure à un, elle n'aurait aucun sens.

Oups, me suis mélangé les pinceaux on dirait. Il fallait lire : "cette formule n'est valable que pour les complexes de partie réelle strictement supérieure à un, elle n'aurait aucun sens sinon."

[leg]

bonjour, même question:
comment fait on pour trouver 0, lorsque s = -2, -4, -10
quelqu'un aurait 'il la bonté de fournir un exemple pour S = -1.-2.-3.-4. par ex / si s=-1 , z(s)= -1/12 pourquoi ? et S = -5 ; z(s) = -1/252 ? -2 = 0??? merci d'une réponse

(relevé sur internet villemin g , introduction au nombre premier)

z (s) =
Valeur décimale

-10 = s
0 =z(s)
0 valeur decimale

-9 = s
-1/132 z(s)
- 0,007575757576 = valeur décimale

-8
0
0

-7
1/240
0,004166666667

-6
0
0

-5
-1/252
- 0,003968253968

-4
0
0

-3
1/120
0,008333333333

-2
0
0

-1 = s
-1/12 z(s)
- 0,08333333333 = valeur décimale

0
-1/2
- 0,5000000000

- 2k
0
0

[leg]

la seule chose que je comprenne, c'est que la courbe tracée, dans ce plan négatif, oscille au point -2, -4, -6, -8...etc, ce qui correspond a zéro puisque cette courbe coupe la droite sur ces points, et ensuite cette courbe s'ecarte de cette droite pour revenir la couper; ce qui donne bien -1 en dessous ,-3 au dessus -5 en dessous etc mais quel rapport cela aurait'il, sur la repartiton des premier si cela s'averrait éxact !
qu'est ce qu cela voudrait -il dire? Car curieusement , dans l'algotythme P(30)
on obtient exactement cette courbe oscillatoire par rapport à zéro, lorsque N tend vers l'infini;
le nombre de premiers diminue,puis augmente ,diminue , augmente ..etc

quelque soit la série p(30) concernée

l'hypothèse de riémann veut-elle dire celà ?
merci d'une réponse

[inviteb7bc207b]

Leg, l'hypothèse de Riemann est que les solutions non triviales de zeta (sur C-{1}) se trouvent sur la droite Re(s)=1/2.

[inviteca3a9be7]

Salut,


On utilise pas la formule de sommation pour définir gamma sur C\{1}, mais on montre qu'on peut trouver une fonction (analytique) qui l'étend à C\{1}.

On montre aussi que :



D'où il sort que les -2n sont des zéros, dits triviaux.