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Fonction zêta : j'ai honte !!!!



  1. #1
    clt

    Fonction zêta : j'ai honte !!!!


    ------

    Bonjour,

    J'ai lu un article dans La Recherche ce mois ci sur l'hypothèse de Riemann. Il est écrit que les zéros trivaux de la fonction zêta sont -2, -4, -6 etc...

    avec:
    zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ....



    J'ai honte parce que je ne vois pas du tout ces zéros triviaux!!!!
    par exemple:

    zeta(-2) = 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ....

    ça ne donne pas zéro.

    Alors svp où est mon erreur ??????

    -----

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  3. #2
    µµtt

    Re : Fonction zêta : j'ai honte !!!!


  4. #3
    clt

    Re : Fonction zêta : j'ai honte !!!!

    Oui mais ça m'énerve. Sur ce lien comme sur d'autres que j'ai vus ils disent tous que c'est trivial.

    Mais je ne vois toujours pas comment zeta(-2) peut être nul

  5. #4
    phenomene

    Re : Fonction zêta : j'ai honte !!!!

    Bonjour, l'expression

    n'est bien entendu valable que lorsque cette série est convergente, ce qui n'est pas le cas pour réel négatif ! Cette formule n'est pas valable que pour les complexes de partie réelle strictement supérieure à un, elle n'aurait aucun sens.

    Mais on peut montrer que cette fonction admet un prolongement analytique à et c'est la fonction analytique définie sur tout ce domaine qu'on appelle fonction , et qui possède les zéros que tu évoques.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    clt

    Re : Fonction zêta : j'ai honte !!!!

    AHhhhh! Merci phénomène. C'est plus clair maintenant.

  8. #6
    phenomene

    Re : Fonction zêta : j'ai honte !!!!

    Citation Envoyé par phenomene
    Cette formule n'est pas valable que pour les complexes de partie réelle strictement supérieure à un, elle n'aurait aucun sens.
    Oups, me suis mélangé les pinceaux on dirait. Il fallait lire : "cette formule n'est valable que pour les complexes de partie réelle strictement supérieure à un, elle n'aurait aucun sens sinon."

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  10. #7
    leg

    Re : Fonction zêta : j'ai honte !!!!

    bonjour, même question:
    comment fait on pour trouver 0, lorsque s = -2, -4, -10
    quelqu'un aurait 'il la bonté de fournir un exemple pour S = -1.-2.-3.-4. par ex / si s=-1 , z(s)= -1/12 pourquoi ? et S = -5 ; z(s) = -1/252 ? -2 = 0??? merci d'une réponse

    (relevé sur internet villemin g , introduction au nombre premier)

    z (s) =
    Valeur décimale

    -10 = s
    0 =z(s)
    0 valeur decimale

    -9 = s
    -1/132 z(s)
    - 0,007575757576 = valeur décimale

    -8
    0
    0

    -7
    1/240
    0,004166666667

    -6
    0
    0

    -5
    -1/252
    - 0,003968253968

    -4
    0
    0

    -3
    1/120
    0,008333333333

    -2
    0
    0

    -1 = s
    -1/12 z(s)
    - 0,08333333333 = valeur décimale

    0
    -1/2
    - 0,5000000000

    - 2k
    0
    0

  11. #8
    leg

    Re : Fonction zêta : j'ai honte !!!!

    la seule chose que je comprenne, c'est que la courbe tracée, dans ce plan négatif, oscille au point -2, -4, -6, -8...etc, ce qui correspond a zéro puisque cette courbe coupe la droite sur ces points, et ensuite cette courbe s'ecarte de cette droite pour revenir la couper; ce qui donne bien -1 en dessous ,-3 au dessus -5 en dessous etc mais quel rapport cela aurait'il, sur la repartiton des premier si cela s'averrait éxact !
    qu'est ce qu cela voudrait -il dire? Car curieusement , dans l'algotythme P(30)
    on obtient exactement cette courbe oscillatoire par rapport à zéro, lorsque N tend vers l'infini;
    le nombre de premiers diminue,puis augmente ,diminue , augmente ..etc

    quelque soit la série p(30) concernée

    l'hypothèse de riémann veut-elle dire celà ?
    merci d'une réponse

  12. #9
    clt

    Re : Fonction zêta : j'ai honte !!!!

    Leg, l'hypothèse de Riemann est que les solutions non triviales de zeta (sur C-{1}) se trouvent sur la droite Re(s)=1/2.

  13. #10
    µµtt

    Re : Fonction zêta : j'ai honte !!!!

    Salut,


    On utilise pas la formule de sommation pour définir gamma sur C\{1}, mais on montre qu'on peut trouver une fonction (analytique) qui l'étend à C\{1}.

    On montre aussi que :



    D'où il sort que les -2n sont des zéros, dits triviaux.

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