Fonction zeta de Riemann

[invite9de87710]

Auriez-vous des infos sur la fonction zeta de Riemann, et en particulier sur la définition d'un prolongement analytique ?

Merci
Gulf Stream

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[A1]

Salut !
que voulez exactement vous savoir sur la fonction zêta de Riemann? car ca devient un vrai tronc de recherche mathématiques( je parle bien évidemment de l'hypothèse de Riemann , le Graal des mathématiciens comme on dit ).Dans ce sens , vous retrouveriez aussi la fonction de Riemann-Siegel.
Pour le prolongement analytique ou l'équation fonctionnelle, c'set ce qu'on effectue à une fonction définie par une série dépendant d'un paramètre en dehors du domaine de convergence pour l'étudier .
Bernhard a fait de même pour sa fonction et a montré qu'elle admet un prolongement analytique au plan complexe, sauf bien entendu au point s=1 où elle a un pôle .Il a aussi établit son équation fonctuonnelle qui utilise la fonction Gamma d'Euler.
Amicalement

A1

[invite9de87710]

Eh bien je recherche la définition du prolongement analytique dans un premier temps...

[Quinto]

Si on a une fonction f qui est analytique sur un certain ouvert non vide U, on peut la prolonger à tout le domaine complexe, sauf peut être en certains pôles.

C'est le cas de la fonction définie par la série
qui n'est valable que sur le disque unité ouvert, mais que l'on peut prolonger partout sur C-{1} par la fonction
f(x)=1/(1-x)
Finalement on peut donner du sens à la série divergente, en ce sens que si x=-2 la série diverge mais f(2)=-1, on peut alors "considérer" que la série existe quand même pour x=2 et dire que la valeur est -1.
Ca c'est l'idée.

Pour la fonction zeta de riemann, on voit qu'on peut la prolonger à tout C sauf en 1, car

converge pour Re(z)>1 et est analytique comme limite de séries de fonctions analytiques.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Si on a une fonction f qui est analytique sur un certain ouvert non vide U, on peut la prolonger à tout le domaine complexe, sauf peut être en certains pôles.

C'est le cas de la fonction définie par la série
qui n'est valable que sur le disque unité ouvert, mais que l'on peut prolonger partout sur C-{1} par la fonction
f(x)=1/(1-x)
Finalement on peut donner du sens à la série divergente, en ce sens que si x=-2 la série diverge mais f(2)=-1, on peut alors "considérer" que la série existe quand même pour x=2 et dire que la valeur est -1.
Ca c'est l'idée.

Pour la fonction zeta de riemann, on voit qu'on peut la prolonger à tout C sauf en 1, car

converge pour Re(z)>1 et est analytique comme limite de séries de fonctions analytiques.
A+

Je suis un peu nul en prologement analytique et je suis pas sur d'avoir bien compris ce que t'as expliqué Quinto. Tu peux me le refaire s'il-te-plait? En particulier ce qui est souligné.

[Quinto]

Salut,
ce que je dis n'a pas vraiment de sens mathématique.
Ce qu'il faut savoir c'est que si deux fonctions analytiques sont égales sur un ensemble possédant un point d'accumulation, alors elles sont égales partout.

Finalement, on peut grosso modo prolonger toute fonction définie sur un ouvert non vide, à tout le plan complexe (ou presque, en "otant" les singularités isolées).
L'idée est que l'on peut alors construire une unique fonction sur C tout entier, avec une représentation en série valable uniquement sur un disque, même aussi petit que l'on veut, (mais non réduit à un point).

Je ne suis pas extrêmement calé non plus, mais je dis ce que je sais
A+

[GuYem]

D'accord là je te suis mieux.

je reprends ton exemple avec la série sum(x^n) :
Elle est égale sur le disque unité à la fonction x-> 1/(1-x) qui elle peut-être définie de C\{1} dans C. Don con peut la prolonger analytiquement à C\{1}.