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Dérivabilité de la série



  1. #1
    Quinto

    Dérivabilité de la série


    ------

    Salut,
    je suis tombé sur cette question sur un autre forum:
    discuter de la dérivabilité de la série

    j'ai pensé au "corollaire" du théorème de Morera sur la dérivabilité des limites de suites holomorphes, mais je me demandais s'il existait une méthode plus élémentaires.
    Si vous avez des idées, je suis preneur.

    -----

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  4. #2
    GuYem

    Re : Dérivabilité de la série

    Salut Quinto! On se croise beaucoup en ce moment hein

    Ta série converge pour tout x.
    Si elle était dérivable, on aurait que la dérivée serait exprimée, au moins sur un petit disque par la série dérivée formelle. (Peut-être est-ce ce que tu appelles le corallaire de Morera).

    Hors la série dérivée formelle vaut sum (cos(k²x)) et elle diverge grossièrement partout. Donc ta fonction n'est pas dérivable.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #3
    Quinto

    Re : Dérivabilité de la série

    C'est bizarre, je ne sais pas quoi penser de cette série, parce que l'on a la convergence unfiforme (normale...) sur tout compact.
    Chacune des fonctions est analytiques, donc la limite est analytique sur tout compact, non?

  6. #4
    GuYem

    Re : Dérivabilité de la série

    Citation Envoyé par Quinto
    C'est bizarre, je ne sais pas quoi penser de cette série, parce que l'on a la convergence unfiforme (normale...) sur tout compact.
    Chacune des fonctions est analytiques, donc la limite est analytique sur tout compact, non?

    Mais tu as complètement raison!
    Elle est analytique sur tout compact, donc en particulier dérivable.

    J'ai encoré été inventé une propriété qu'éxiste pas

    Si la dérivée formelle converge et que la fonction est dérivable alors la dérivée coincide avec la somme de la dérivée formelle.

    La réciproque est fausse, voilà un contre exemple.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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