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Dérivabilité



  1. #1
    mattveil

    Dérivabilité

    Bonsoir à tous.

    J'ai quelques petits problèmes de mémoires! A quoi sert la formule : f(a)+f'(a)(x-a)
    Un petit exemple serait le bienvenue


    Et
    Est-ce que ça prouve que f est dérivable en a? (bien faire attention que c'est seulement quand h tend vers 0 de façon négative)

    Merci

    -----


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  3. #2
    Ledescat

    Re : Dérivabilité

    Citation Envoyé par mattveil Voir le message
    Bonsoir à tous.

    J'ai quelques petits problèmes de mémoires! A quoi sert la formule : f(a)+f'(a)(x-a)
    Un petit exemple serait le bienvenue


    Et
    Est-ce que ça prouve que f est dérivable en a? (bien faire attention que c'est seulement quand h tend vers 0 de façon négative)

    Merci
    Bonsoir!
    Non cela montre seulement que f est dérivable à gauche en a.
    Pour que f soit dérivable tout court en a, il faut que la limite à gauche et à droite soient finies et les mêmes, en d'autres termes, il faut que la limite en 0 existe et soit finie .

    Le f(a)+f'(a)(x-a) correspond en fait au développement limité de f en a à l'ordre 1. Pas de panique! C'est en fait le polynôme de degré 1 (c'est donc une droite) qui approche le mieux ta fonction en a.
    En d'autres termes, la fonction qui à x associe f(a)+(x-a)f'(a) correspond à la tangente à f en a.
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    benjy_star

    Re : Dérivabilité

    Salut !
    Citation Envoyé par mattveil Voir le message
    J'ai quelques petits problèmes de mémoires! A quoi sert la formule : f(a)+f'(a)(x-a)
    A trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse a : y = f(a)+f'(a)(x-a)


    Et
    Est-ce que ça prouve que f est dérivable en a? (bien faire attention que c'est seulement quand h tend vers 0 de façon négative)
    Si la limite de gauche est finie, et si la limite à gauche et à droite est la même, alors la fonction est dérivable en a, à condition qu'elle soit définie aussi, je crois que c'est ça.

  5. #4
    mattveil

    Re : Dérivabilité

    Merci à vous deux!

    Au passage encore 2 petites questions :
    Comment écrire l'ensemble de définition de ?
    Et est-ce que l'ensemble de définition de f est la même chose que l'ensemble de dérivabilité de f?
    J'aurai tendance à dire que l'ensemble de dérivabilité de f est l'ensemble de définition de f' mais j'ai un doute.

  6. #5
    Ledescat

    Re : Dérivabilité

    L'ensemble de définition de f n'est pas à priori l'ensemble de dérivabilité de f. (fonction racine en 0 par exemple).
    En revanche, l'ensemble de dérivabilité de f est l'ensemble des points tels que f'(x) existe, c'est donc bien l'ensemble de définiton de f' .

    Tu sais que la fonction racine n'est pas définie lorsqu'elle s'applique à des nombres strictement négatifs. Tu exclues donc de l'ensemble de définition de sin (c'est-à-dire R) tous les intervalles où sin est strictement négative.
    Cogito ergo sum.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ledescat

    Re : Dérivabilité

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    à condition qu'elle soit définie aussi, je crois que c'est ça.
    On ne se poserait pas la question si f n'était pas définie en a car la limite fait intervenir f(a) .

    EDIT: d'ailleurs, en parlant d'ensemble de définition de f'. Dans un exercice, quand j'ai la flemme de justifier la dérivabilité par les fonctions composées etc...je dérive, je regarde où f' n'est pas définie, et je remonte en haut de la page en notant, , f est dérivable et f'=...
    Un petit truandage, mais c'est pas méchant .
    Dernière modification par Ledescat ; 28/05/2007 à 19h10.
    Cogito ergo sum.

  9. Publicité
  10. #7
    mattveil

    Re : Dérivabilité

    Ok merci!

    Cependant dans le cours que j'ai eu en term S j'ai ceci :

    Etude de la dérivabilité éventuelle de f en 1 avec f(x) =
    Etude en x0=1 pour x [-1;1[



    Donc f est dérivable en 1 avec f'(1) = 0

    Pouvez-vous m'expliquer pourquoi dans ce cas c'est bon?

  11. #8
    Namsam

    Re : Dérivabilité

    Regarde ou la fonction est définie
    "Agis comme si ton action devait être érigée en principe universel"

  12. #9
    mattveil

    Re : Dérivabilité

    Oui mais elle n'est apparrement pas dérivable à tous les endroits où elle est définie et ici c'est l'étude d'une dérivabilité éventuelle donc on ne parle pas de son ensemble de définition à moins que je ne comprenne pas.

  13. #10
    Ledescat

    Re : Dérivabilité

    Je ne comprends pas pourquoi tu t'embêtes à calculer une limite pour chercher un nombre dérivé. Surtout que ton T(x) m'a tout l'air faux.Sais-tu dériver une fonction ?
    Car dans ce cas, tu verras que la dérivée de ta fonction en 1 n'est pas définie.

    EDIT: je viens de faire le calcul, et la dérivée est prolongeable par continuité en 1, valant 0. D'où le T(x) qui est juste d'ailleurs au temps pour moi .
    Dernière modification par Ledescat ; 28/05/2007 à 22h09.
    Cogito ergo sum.

  14. #11
    homotopie

    Re : Dérivabilité

    Citation Envoyé par mattveil Voir le message
    Ok merci!

    Cependant dans le cours que j'ai eu en term S j'ai ceci :

    Etude de la dérivabilité éventuelle de f en 1 avec f(x) =
    Etude en x0=1 pour x [-1;1[



    Donc f est dérivable en 1 avec f'(1) = 0

    Pouvez-vous m'expliquer pourquoi dans ce cas c'est bon?
    Bonjour,
    parce que l'on t'a répondu trop vite oui à la question le domaine de dérivabilité de f est-il le domaine de définition de f'.
    La réponse est bien oui (c'est même une tautologie) mais en faisant attention que "f' " ne correspond pas à la formule générale de la dérivée de f. Il ne s'agit pas de dériver f selon les règles générales ((x^n)'=nx^(n-1), exp'=exp, (1/x)'=-1/x², (u+v)=u'+v', (uv)=u'v+uv'....), puis regarder où sont les points singuliers pour décréter que ce sont des points de non dérivabilité mais il s'agit de regarder plus attentivement ces points. (La méthode de Ledescat me paraît source d'erreur de ce point de vue).
    Ici, les règles générales de la dérivation t'informent que cette fonction est dérivable sur ]-1;1[ avec une formule générale sur cet ensemble. Mais les règles générales ne donnent aucune information quant à la dérivabilité ou non de cette fonction en les deux points particuliers -1 et 1. Pour ce genre de points, on applique directement la définition d'une dérivé (càd par le taux d'accroissement, limite ou pas, ici c'est le T(x)). Quant on a affaire à un produit u(x)v(x) avec u régulière en ce point et en outre u(x0)=0 et v non dérivable en x0, la question de "qui va gagner" entre la régularité de u et l'irrégularité de celle de v reste posée. Au point x0=1, la régularité "gagne", en -1, l'irrégularité "l'emporte".
    D'ailleurs, se référer aux règles générales est parfois relatif à l'expression employée, ici on a par exemple :
    dont les formules générales donnent tranquillement la dérivabilité en 1-.
    Il en est autrement avec x²sin(1/x) qui est dérivable en 0 mais la dérivée sur R* ne converge pas en 0 (on ne peut donc pas retrouver la dérivabilité simplement en réécrivant mieux la fonction comme pour f).

  15. #12
    mattveil

    Re : Dérivabilité

    Ok j'ai tout compris et tout devient clair merci beaucoup!

  16. Publicité

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