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Dérivabilité de f en 0



  1. #1
    mateuze

    Unhappy Dérivabilité de f en 0

    hey j'ai besoin d'aide.. ptit souci de méthodo!

    alors en fait, j'ai la fonction suivante:

    f(x)= {(x²+x+1)/x²}. exp(-1/x) définie sur R+ et définie pour tt x>0 et f(0)=0.

    On me demande d'étudier sa dérivabilité en 0. Donc j'ai remplacé x par 0 dans f(x) et ça me montre tout de suite que c'est impossible car 1/0 ou -1/0 n'est pas définie.

    Je trouve ça un peu trop simple pour être juste! Aidez-moi svp!!! (je suis nulle en maths^^)

    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    pat7111

    Re : Dérivabilité de f en 0

    Citation Envoyé par mateuze
    Donc j'ai remplacé x par 0 dans f(x)
    Non, on ne peut pas, c'est pour cela que l'on a pour f une définition différente en 0 que pour x différent de 0

    Tu dois donc prendre simplement f(0) = 0

    Pour l'étude de la dérivabilité en 0, il faut revenir à la définition de la dérivée : la limite du rapport des accroissement. Là tu vas tomber sur une forme indéterminée type 0/0 ; Si ta fonction est dérivable, tu pourras lever cette indétermination et la limite sera la dérivée de ta fonction en 0

    Dans ton cas, si tu as compris pourquoi la fonction est continue en posant f(0)=0, il n'y a vraiment plus grand'chose à faire
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

  4. #3
    mateuze

    Re : Dérivabilité de f en 0

    merci beaucoup pour cette info... mais on me donne comme indication de faire le changement de variable u= -1/x. Je dois procéder comment??

    merci beaucoupde votre aide

  5. #4
    pat7111

    Re : Dérivabilité de f en 0

    Citation Envoyé par mateuze
    mais on me donne comme indication de faire le changement de variable u= -1/x
    Pourquoi pas... mais ce n'est pas indsipensable...

    Dans tous les cas, il faut écrire que la dérivée c'est


    De là étudier directement cette limite ou poser u=-1/x, transformer ce qui précède en u et étudier la limite de cette fonction quand : c'est exactement la même chose...
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

  6. #5
    mateuze

    Re : Dérivabilité de f en 0

    ah oui en effet ça me dit quelque chose...
    Donc maintenant je n'ai plus qu'à remplacer par la fonction qu'on m'a donné et déterminer sa limite grâce aux opérations sur les limites... simple comme bonjour!!

    merci beaucoup pour votre aide!!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mateuze

    Re : Dérivabilité de f en 0

    Je n'obtiens pas de forme indéterminée de type "0/0" puisque en remplaçant f(x) par cette fonction:
    {(x²+x+1).exp(-1/x)} dans le quotient f(x)/x, j'obtiens:

    {((x²+x+1)/x²).exp (-1/x)}/x
    Et quand bien même je factoriserais le premier facteur par x², j'obtiens que sa limite vaudrait 1 en 0.
    Il me resterait alors {1.exp ("-1/0")}/0 ce qui est impossible.

    Je suis vraiment bloquée...

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  10. #7
    invite43219988

    Re : Dérivabilité de f en 0

    On n'écrit pas 1/0, ça n'existe pas !

    si j'ai bien compris tu as :
    ((x²+x+1)*exp(-1/x))/x^3

    exp(-1/x) ça tend vers combien en 0 ?
    (x²+x+1)/x^3 ça tend vers combien en 0 ?
    Tu peux ensuite conclure sur la limite du produit (pas toujours mais làa ca marche !)

  11. #8
    pat7111

    Re : Dérivabilité de f en 0

    Citation Envoyé par mateuze
    Je n'obtiens pas de forme indéterminée de type "0/0"
    J'ai peut-être été confus dans mes explications...

    Reprenons ! La dérivée de f (continue) en est par définition



    Comme f est supposée continue, le numérateur tend vers 0 ainsi que le dénominateur pour lequel c'est évident.

    On a donc a priori une forme indéterminée de type 0/0

    On apprend en étudiant les limites qu'un tel rapport n'a pas de limite évidente. Ca peut tendre vers un réel, vers l'infini , vers rien du tout... Il faut donc regarder de plus près pour la fonction f particulière que l'on a sous la main. Si on obtient une limite réelle, alors la fonction est dérivable en x0 et vaut la limite trouvée.

    Il se peut très bien que le du numérateur se simplifie avec le dénominateur. C'est le bonheur, il n'y a plus rien à faire, l'indétermination est levée sans effort.

    Dans ton problème, ce n'est pas le cas. La conclusion vient du fait que l'exponentielle au numérateur tend vers 0 "plus fortement" que le x^3 du dénominateur. L'exponentielle l'emporte et fait tendre le tout vers 0

    Comme je l'ai déjà suggéré, c'est pour la même raison que l'on a f(x) -> 0 quand x-> 0. C'est pour cela qu'en posant f(0)=0 la fonction est continue en 0
    Dernière modification par pat7111 ; 01/01/2006 à 19h29.
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

  12. #9
    mateuze

    Re : Dérivabilité de f en 0

    D'accord...
    J'ai enfin compris!!

    Merci pour votre aide

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